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填充14.
由 \(a_1=1, 3a_{n+1}=a_n^2+3a_n, \forall n\in\mathbb{N}\)，可以推得下面兩個條件，
1. \(a_n>0, \forall n\in\mathbb{N}\)
2. \(\displaystyle \frac{1}{a_n +3} = \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}, \forall n\in\mathbb{N}\)
((參考過程如下，或循其他路徑亦可..))
╔
║\(\displaystyle \frac{1}{a_n +3} = \frac{a_n}{a_n^2+3a_n}= \frac{a_n}{3a_{n+1}}=\frac{a_n^2}{3a_na_{n+1}}=\frac{3a_{n+1}-3a_n}{3a_na_{n+1}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\)
╚
綜合上述兩條件，可得 \(S=....\) （分項對消，後略）
