填充第3題

\(\begin{align}
  & {{a}_{n+1}}={{S}_{n}}+{{n}^{2}}-n+2 \\
& {{a}_{n}}={{S}_{n-1}}+{{\left( n-1 \right)}^{2}}-\left( n-1 \right)+2 \\
& {{a}_{n+1}}-a{}_{n}={{a}_{n}}+2n-2 \\
& {{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+2\left( n-1 \right) \\
& {{a}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)=2\left( {{a}_{n}}+2n \right)={{2}^{2}}\left[ {{a}_{n-1}}+2\left( n-1 \right) \right]=\cdots ={{2}^{n}}\left( {{a}_{1}}+2 \right) \\
& {{a}_{n}}={{2}^{n+1}}-2n \\
\end{align}\)

計算第2題
即證明\(2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right)\le 5\left( 1+{{r}^{4}} \right)\)

\(\begin{align}
  & 5\left( 1+{{r}^{4}} \right)-2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right) \\
& =3{{r}^{4}}-2{{r}^{3}}-2{{r}^{2}}-2r+3 \\
& ={{\left( r-1 \right)}^{2}}\left( 3{{r}^{2}}+4r+3 \right)\ge 0 \\
&  \\
& 2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right)\le 5\left( 1+{{r}^{4}} \right) \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-2 04:28 PM 編輯 ]

計算證明題 2.

除了 thepiano 老師提出的速解，也可以用另一個角度考察。

當 r = 0 或 1，原式成立。

當 0 < r ≠ 1，因 f (n) = rⁿ 凹口向上，由 Jensen 不等式，或用梯形法比較面積，或用比較諸函數值的算數平均，皆可得證。

依此，本題可推廣為:

r ≥ 0，n ∈N，則 (1 + r+...+ rⁿ) / (n+1) ≤ (1 + rⁿ) / 2



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-3 01:02 PM 編輯 ]

請益老師複數那堤
倒數第四個等號到倒數第三個等號是怎麼變的呢???

計算六

利用 sinθーi cosθ=cos(π/2 -θ)ーisin(π/2 -θ)=cos(-π/2 +θ)+isin(-π/2 +θ)
再用極式相乘為角度相加，極式相除為角度相減即可！

填充題 4. 以四種顏色塗 4x2 之 8 格方格 (不考慮旋轉)，每種顏色皆塗兩格，每格方格只塗一種顏色，同色不相鄰，則有幾種塗色方法?


想法: 適當的分類，可望化繁為簡。以下依中央四格共塗 2，3，4 色來分類。

下文說明: 藍字: 中央四格選色的方法數;  紅字: 承上選色後，中央四格塗色的方法數;  綠字: 再承上，周邊四格塗色的方法數。


分類 1: 中央四格共塗 2 色



C(4,2)*2*2*2


分類 2: 中央四格共塗 3 色



C(4,3)*C(3,1)*2*2*5


分類 3: 中央四格共塗 4 色



4!*9   (這個 "9" 就是 4 個元素的"錯列數" -- 4個顏色皆有一個(不同的)位置不能塗)


以上三者相加，得 504 種方法。

謝謝 cefepime老師的詳細解釋 感恩
這邊在下野人獻曝一下 我想也許有人跟我一樣原本是不懂錯排(錯列)數的意思的

比如說有n封寫好了的信，收件人不同，胡亂放入n 個寫了地址的信封中，寄出，
求沒有一個收件人收到他所應接收的信的機率。(也就是應該要是A人收到A信 B人收到B信..諸如此類)
當n=4 ，在4! = 24個排列之中，只有9個是錯排：
BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA,

by the way 我們比較常用到的錯列數不妨直接背起來吧 !
D1 = 0，D2 = 1，D3=2，D4 = 9，D5 = 44，D6 = 265，D7 = 1854

D4=9 (就是cefepime老師所說的 4個元素的錯列數 =9 )

[ 本帖最後由 六道 於 2016-6-4 08:23 AM 編輯 ]

n件物品的錯排公式 sigma k=0到n [ (-1)^k * C(n,k) * (n-k)! ]

想請教填充2和8,謝謝