填充第3題

  an+1=Sn+n2−n+2an=Sn−1+n−12−n−1+2an+1−an=an+2n−2an+1=2an+2n−1an+1+2n+1=2an+2n=22an−1+2n−1==2na1+2an=2n+1−2n

計算第2題
即證明21+r+r2+r3+r451+r4 

  51+r4−21+r+r2+r3+r4=3r4−2r3−2r2−2r+3=r−123r2+4r+30  21+r+r2+r3+r451+r4

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-2 04:28 PM 編輯 ]

計算證明題 2.

除了 thepiano 老師提出的速解，也可以用另一個角度考察。

當 r = 0 或 1，原式成立。

當 0 < r ≠ 1，因 f (n) = rⁿ 凹口向上，由 Jensen 不等式，或用梯形法比較面積，或用比較諸函數值的算數平均，皆可得證。

依此，本題可推廣為:

r ≥ 0，n ∈N，則 (1 + r+...+ rⁿ) / (n+1) ≤ (1 + rⁿ) / 2



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-3 01:02 PM 編輯 ]

請益老師複數那堤
倒數第四個等號到倒數第三個等號是怎麼變的呢???

計算六

利用 sinθーi cosθ=cos(π/2 -θ)ーisin(π/2 -θ)=cos(-π/2 +θ)+isin(-π/2 +θ)
再用極式相乘為角度相加，極式相除為角度相減即可！

填充題 4. 以四種顏色塗 4x2 之 8 格方格 (不考慮旋轉)，每種顏色皆塗兩格，每格方格只塗一種顏色，同色不相鄰，則有幾種塗色方法?


想法: 適當的分類，可望化繁為簡。以下依中央四格共塗 2，3，4 色來分類。

下文說明: 藍字: 中央四格選色的方法數;  紅字: 承上選色後，中央四格塗色的方法數;  綠字: 再承上，周邊四格塗色的方法數。


分類 1: 中央四格共塗 2 色



C(4,2)*2*2*2


分類 2: 中央四格共塗 3 色



C(4,3)*C(3,1)*2*2*5


分類 3: 中央四格共塗 4 色



4!*9   (這個 "9" 就是 4 個元素的"錯列數" -- 4個顏色皆有一個(不同的)位置不能塗)


以上三者相加，得 504 種方法。

謝謝 cefepime老師的詳細解釋 感恩
這邊在下野人獻曝一下 我想也許有人跟我一樣原本是不懂錯排(錯列)數的意思的

比如說有n封寫好了的信，收件人不同，胡亂放入n 個寫了地址的信封中，寄出，
求沒有一個收件人收到他所應接收的信的機率。(也就是應該要是A人收到A信 B人收到B信..諸如此類)
當n=4 ，在4! = 24個排列之中，只有9個是錯排：
BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA,

by the way 我們比較常用到的錯列數不妨直接背起來吧 !
D1 = 0，D2 = 1，D3=2，D4 = 9，D5 = 44，D6 = 265，D7 = 1854

D4=9 (就是cefepime老師所說的 4個元素的錯列數 =9 )

[ 本帖最後由 六道 於 2016-6-4 08:23 AM 編輯 ]

n件物品的錯排公式 sigma k=0到n [ (-1)^k * C(n,k) * (n-k)! ]

想請教填充2和8,謝謝