7.
求值：\( \displaystyle \sum_{k=1}^{20} k(k+1)(k+2)(k+3)= \)？
在科學月刊2016年10月號，游森棚老師寫了一篇關於這個題目的文章。
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小題目大道理(一)
http://scimonth.blogspot.tw/2016/09/blog-post_93.html
游森棚／任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校
即將來臨的新學期，系上委託我開一門給大四的課「數學教學與解題」。這門課主要的想法是幫助未來的中學老師能夠更掌握即將要教給學生的內容，也迎接將來的教師甄試。於是這個暑假我重操舊業，讀了不少學校近年教師甄試試題。絕大部分問題真的是相當無趣，有些非常人工化且刁鑽。教師甄試如果變成解怪題比賽，是有點讓人憂心。但偶爾也有幾個珠玉題目讓人眼睛一亮。這個月的專欄來看看一個教師甄試的好問題，與求和公式有關。求和公式是不少高中師生心中的疑惑，希望這篇文章可以有一點幫助。
【問題】
若數列\( \langle\; a_k \rangle\;=k^4+6k^3+11k^2+6k \)。求數列的前12項和。
因為只有12項，真的把1~12全代進去再相加也許最快，答案是104832，這應該是很多考生採取的辦法。但數學上我們還是要有一個說法，正常的程序是：
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{12} k^4+6k^3+11k^2+6k=\sum_{k=1}^{12}k^4+6\sum_{k=1}^{12}k^3+11\sum_{k=1}^{12}k^2+6\sum_{k=1}^{12}k \)
一、二、三次方的求和公式是課本內容，因此問題變成要推導\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 \)的公式。\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 \)怎麼算呢？
方法一
根據一、二、三次方的求和公式，我們有信心相信四次方求和公式應該是一個五次多項式：
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4=an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f \)
所以令\( n=1,2,3,4,5,6 \)代進去變成一個超大的聯立方程組，就可以把\( (a,b,c,d,e,f) \)解出來。這非常笨拙，但是學生如果忘掉平方和公式，這個方法可以幫助他推導回來。
方法二
模仿課本，利用\( k^5-(k-1)^5=5k^4-10k^3+10k^2-5k+1 \)，然後令\( k=1,2,3,\ldots,n \)，把得到的\(n\)個式子全相加，得到：
\( \displaystyle n^5=5\sum_{k=1}^n k^4-10 \sum_{k=1}^n k^3+10 \sum_{k=1}^n k^2-5 \sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1 \)
然後因為一、二、三次方的求和公式已知，計算後就可以得到：
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4=\frac{1}{5}n^5+\frac{1}{2}n^4+\frac{1}{3}n^3-\frac{1}{30}n \)
但我想這個問題的真正意圖並非如此，而是有更深的涵義，我們看下圖：
顯然：
\( a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=(b_1-b_0)+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+\ldots+(b_n-b_{n-1}) \)
但是右式對消掉剩下\( b_n-b_0 \)。這是重要的分項對消法(telescope)的原理：這告訴我們，要求\( a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n \)，如果我們可以設計出一個數列\( \langle\; b_n \rangle\; \)使得\( a_n=b_n-b_{n-1} \)，那麼\( a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=b_n-b_0 \)。
更根本的說法是，這是離散版本的微積分基本定理。離散版本的「微積分」叫做「差和分」。底下把兩造對照一下：
\( \displaystyle \int_a^b f(x)=F(b)-F(a) \)←→\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=b_n-b_0 \)
要求函數\( f(x) \)的定積分，就要知道它的反導函數\(F(x)\)；要求數列\(a_n\)的「和分」，就要知道它的「反差分數列」\(b_n\)。但是學微積分時我們知道，積分最困難的一步是從\(f(x)\)找反導函數\(F(x)\)，並沒有一個一勞永逸的方法；同樣的，做和分最難的一步是從\(a_n\)找\(b_n\)，也沒有一勞永逸的方法。
但是微積分的一些基本的函數是能積的，比如\( \int x^n dx \)是最基本的。和分呢？讓我們回到一次方求和\( 1+2+\ldots+n \)。此時\(a_n=n\)。所以，若設計\( \displaystyle b_n=\frac{n(n+1)}{2} \)，就有：
\( \displaystyle b_n-b_{n-1}=\frac{n(n+1)-(n-1)n}{2}=\frac{n \cdot 2}{2}=n \)又剛好\(b_0=0\)，因此\( \displaystyle 1+2+\ldots+n=b_n-b_0=\frac{n(n+1)}{2}\)，得到一次方求和公式。這看來繞一大圈。但仔細看上面計算\(b_n-b_{n-1}=n\)的過程給我們不少啟示：那個\( \displaystyle \frac{1}{2} \)被巧妙地消掉了。利用同樣的方式，若\(a_n=n(n+1)\)，那就可以設計\(\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)，因為：
\( \displaystyle b_n-b_{n-1}=\frac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)\cdot 3}{3}=n(n+1) \)
好，回到我們最原始的問題，關鍵是看出因式分解：
\(a_n=n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3)\)這個分解以及隨之而來的「和分」才是題目的真正意圖。所以可以設計：
\( \displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5} \)
依樣畫葫蘆可檢驗\(a_n=b_n-b_{n-1}\)，而且\(b_0=0\)，因此所求為：\(a_1+\ldots+a_{12}=b_{12}=104832\)在微積分的世界中，\( \int x^n dx \)是基本的積分。但是由上面的討論知道，在「差和分」的世界中，真正基本的並不是\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^r\)，而是\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)\ldots(k+r-1) \)。我們來試試二次方公式。因為\(k^2=k(k+1)-k\)，所以：
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\sum_{k=1}^n (k(k+1)-k)=\sum_{k=1}^n k(k+1)-\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
平方和公式就神奇地跑出來了。
所以啦，要對多項式求和\( \displaystyle \sum_{k=1}^r f(k) \)，只要把\(f(k)\)寫成\(k\)、\(k(k+1)\)、\(k(k+1)(k+2)\)、…的線性組合之後就容易了。讀者可以試試看推導\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 \)。
要得到高次方的求和公式\( \displaystyle \sum k^r \)，就要把\( k^r \)寫成\(k\)、\(k(k+1)\)、\(k(k+1)(k+2)\)、…的線性組合。這就變成線性代數中基底變換的問題。所得到的基底變換係數叫做斯特靈數(Stirling number)，而最後導出的求和公式係數與白努利數(Bernoulli number)密切相關，這些都各值得寫一次專欄來談談，因為已經踏入組合學與數論的王國了。小問題大道理，限於篇幅我們就停在這裡。
不少有志於在中學教書的未來老師，在大學時都有茫然的時候：「所學」似乎和未來「所教」不甚相關。但事實上教師觀點越高，就能更看清楚脈絡而不陷入題海中。我常想，高中教師甄試的題目應該要能類似這個例子，而非是解怪題比賽。好的問題要剛剛好介於高中和大學之間：雖然是中學數學的問題，但是可以看出應試者對大學數學的掌握，看出真正的數學素養。這樣，師資培育過程中這麼多的數學專業課程才真正有意義，也才能選出好的數學老師。
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本帖最後由 bugmens 於 2017-1-19 03:52 PM 編輯 ]
