回覆第十題
坐標平面上，由原點\(O\)作圓\((x-6)^2+(y-7)^2=10\)得兩切點為\(A,B\)。設\(P\)為射線\(OB\)上一點，則\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}\)的最大值為　　　。

令圓心為D，則 \(\displaystyle \sin \angle DOA= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{85}}, \cos \angle DOA= \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{85}}\)
再令\( \angle PAO= \theta\)由正弦定理，\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}= \frac{\sin \theta}{\sin \angle AOP} \)
因 \(\displaystyle \sin \angle AOP = 2 \sin \angle DOA \cos \angle DOA= \frac{2 \sqrt{750}}{85} \)，又\( \sin \theta \) 的最大值為1
因此所求等於 \(\displaystyle \frac{1}{\sin \angle AOP } = \frac{85}{2 \sqrt{750}}= \frac{17 \sqrt{30}}{60} \)

怎麼每次都出了考場才想到作法@@

填充第6題
設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積為　　　。

∠PBA=α，∠PBC=β，正方形邊長為\(a\)
\(\begin{align}
  & \cos \alpha =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{1}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \\
& \sin \alpha =\cos \beta =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{3}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \\
& {{\left( \frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \right)}^{2}}=1 \\
& {{a}^{2}}=5+2\sqrt{2}\ or\ 5-2\sqrt{2} \\
\end{align}\)
\(5-2\sqrt{2}\)不合

單選第1題
級數\(4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=\)？(A)\(12^5\)　(B)\(13^5\)　(C)\(14^5\)　(D)\(15^5\)

真的要算也是差不多的方法
\({{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)\)

令\({{n}^{5}}={{4}^{5}}+{{5}^{5}}+{{6}^{5}}+{{7}^{5}}+{{9}^{5}}+{{11}^{5}}\)
\({{n}^{5}}\equiv 4+5+6+7+9+11\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right)\)
\(\begin{align}


& {{4}^{5}}<{{n}^{5}}<6\times {{11}^{5}}<{{2}^{5}}\times {{11}^{5}} \\
& 4<n<22 \\
& n=12 \\
\end{align}\)

已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。

(亂入一下)  計算題 2.如果出在"非計算題"，則我會用以下"投機"的解法。至於是否說得通，請各位老師指導。

想法: 題意即求 n → ∞ 時，"相鄰兩向量內積的平均"。由於 n → ∞ 時，向量內積 APk．APK₊₁ → APk² (或 APk₊₁²)，故所求 = "各 APi ² 的平均"。

由對稱性，可以只考慮一半圖形，如下圖:

由畢氏定理，所求諸 APi ² 的平均

= (√3/2)² + lim (1/2)² * [ (1/n)² + (2/n)² + ... + [(n/n)² ] * (1/n)

= 3/4 + lim (1/4)*n(n+1)(2n+1) / 6n³

= 3/4 + 1/12

= 5/6


反思: 若懷疑此答案非所求，例如: 所求應 = t*(5/6)，0 < t < 1; 則論證如下:

如上圖，必存在一足夠大的 m，使當 n > m 時，皆有 APk．APK₊₁ / APk₊₁² > t，矛盾。

或者，亦可用 "夾擠定理" 來體會並論證。





[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-8 01:13 AM 編輯 ]

先謝謝鋼琴老師的講解

只是有個疑惑是
\({{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)\)

這是怎麼知道的

\(\begin{align}
  & {{0}^{5}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{1}^{5}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{2}^{5}}\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{3}^{5}}\equiv 3\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{4}^{5}}\equiv 4\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{5}^{5}}\equiv 5\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{6}^{5}}\equiv 6\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{7}^{5}}\equiv 7\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{8}^{5}}\equiv 8\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{9}^{5}}\equiv 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
\end{align}\)

不好意思 請教一下各位大大~~ 計算第一題答案是根號10嗎?

回復 15# csihcs 的帖子

關於 n⁵ ≡ n  (mod 10)

亦可:

n⁵ - n = n (n² - 1) (n² + 1) = (n - 1) n (n + 1) (n² + 1) =  (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n - 1) n (n + 1)  必為 10 的倍數

或者:

n⁵ ≡ n  (mod 2)  (易證)

n⁵ ≡ n  (mod 5)  (費馬小定理)

故 n⁵ ≡ n  (mod 10)


引申: 當 n 是奇質數，m ∈ N，則 mⁿ ≡ m  (mod 2n)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:00 PM 編輯 ]

感謝各位老師的指導

計算題第一題有送分喔