回覆第十題
坐標平面上，由原點O作圓(x−6)2+(y−7)2=10得兩切點為AB。設P為射線OB上一點，則PAPO的最大值為　　　。

令圓心為D，則 sinDOA=8510cosDOA=8575
再令PAO= 由正弦定理，PAPO=sinsinAOP
因 sinAOP=2sinDOAcosDOA=852750 ，又sin 的最大值為1
因此所求等於 1sinAOP=852750=601730

怎麼每次都出了考場才想到作法@@

填充第6題
設P是正方形ABCD內部一點，且P到A、B、C三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積為　　　。

∠PBA=α，∠PBC=β，正方形邊長為a
\begin{align}   & \cos \alpha =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{1}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \\ & \sin \alpha =\cos \beta =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{3}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \\ & {{\left( \frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \right)}^{2}}=1 \\ & {{a}^{2}}=5+2\sqrt{2}\ or\ 5-2\sqrt{2} \\ \end{align}
5-2\sqrt{2}不合

單選第1題
級數4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=？(A)12^5　(B)13^5　(C)14^5　(D)15^5

真的要算也是差不多的方法
{{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)

令{{n}^{5}}={{4}^{5}}+{{5}^{5}}+{{6}^{5}}+{{7}^{5}}+{{9}^{5}}+{{11}^{5}}
{{n}^{5}}\equiv 4+5+6+7+9+11\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right)
\begin{align} & {{4}^{5}}<{{n}^{5}}<6\times {{11}^{5}}<{{2}^{5}}\times {{11}^{5}} \\ & 4<n<22 \\ & n=12 \\ \end{align}

已知\Delta ABC為邊長為1的正三角形，設\overline{BC}邊上有n-1個等分點，由B點到C點的順序為P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}，且令B=P_0，C=P_n。若S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}，試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=。

(亂入一下)  計算題 2.如果出在"非計算題"，則我會用以下"投機"的解法。至於是否說得通，請各位老師指導。

想法: 題意即求 n → ∞ 時，"相鄰兩向量內積的平均"。由於 n → ∞ 時，向量內積 APk．APK₊₁ → APk² (或 APk₊₁²)，故所求 = "各 APi ² 的平均"。

由對稱性，可以只考慮一半圖形，如下圖:

由畢氏定理，所求諸 APi ² 的平均

= (√3/2)² + lim (1/2)² * [ (1/n)² + (2/n)² + ... + [(n/n)² ] * (1/n)

= 3/4 + lim (1/4)*n(n+1)(2n+1) / 6n³

= 3/4 + 1/12

= 5/6


反思: 若懷疑此答案非所求，例如: 所求應 = t*(5/6)，0 < t < 1; 則論證如下:

如上圖，必存在一足夠大的 m，使當 n > m 時，皆有 APk．APK₊₁ / APk₊₁² > t，矛盾。

或者，亦可用 "夾擠定理" 來體會並論證。





[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-8 01:13 AM 編輯 ]

先謝謝鋼琴老師的講解

只是有個疑惑是
{{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)

這是怎麼知道的

\begin{align}   & {{0}^{5}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{1}^{5}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{2}^{5}}\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{3}^{5}}\equiv 3\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{4}^{5}}\equiv 4\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{5}^{5}}\equiv 5\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{6}^{5}}\equiv 6\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{7}^{5}}\equiv 7\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{8}^{5}}\equiv 8\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & {{9}^{5}}\equiv 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ \end{align}

不好意思 請教一下各位大大~~ 計算第一題答案是根號10嗎?

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關於 n⁵ ≡ n  (mod 10)

亦可:

n⁵ - n = n (n² - 1) (n² + 1) = (n - 1) n (n + 1) (n² + 1) =  (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n - 1) n (n + 1)  必為 10 的倍數

或者:

n⁵ ≡ n  (mod 2)  (易證)

n⁵ ≡ n  (mod 5)  (費馬小定理)

故 n⁵ ≡ n  (mod 10)


引申: 當 n 是奇質數，m ∈ N，則 mⁿ ≡ m  (mod 2n)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:00 PM 編輯 ]

感謝各位老師的指導

計算題第一題有送分喔