104嘉義區複賽試題(一)
一、ABC的∠ACB的分角線交AB於PA1B1分別為AB對分角線CL的對稱點，A2B2分別為AB對點P的對稱點，O1O2分別為AB1B2BA1A2的外心，證明∠O1CA=∠O2CB。

二、已知abc都是正實數且a+b+c=3，證明12+a2+b2+12+b2+c2+12+c2+a243。

三、
(a)若xys為實數，求證[sx+(1−s)y]2=sx2+(1−s)y2−s(1−s)(x−y)2。
(b)若f:RR為一函數且對所有實數xy，不等式f(x)−f(y)x−y均成立。已知實數uv滿足f(u)=uf(v)=v，求證對所有0t1，f(tu+(1−t)v)=tu+(1−t)v。


麻煩大家給我一些提示，謝謝！

第二題用切線法(有點暴力)的證明

上面過程可能有問題喔~
取a=0.5   b=1   c=1.5
代入您改的那個值總和會超過0.75

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-4-24 11:54 PM 編輯 ]

我發現了@@反號了 我再想想

後來發現這是2009伊朗選訓營的題目(教授真狠@@)
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h275815p1492633
下面colorfuldreams的解比較簡潔

請參考

因為題目的條件我們知道PA=PA1=PA2，於是P落在A1A2的中垂線上，同理P在B1B2的中垂線上，故O1、P、O2三點共線。
另外，注意到A1A和B1B都與CP垂直，因此A1A//B1B。又CA1=CA，CB1=CB，得A1B=B1A，故AB1BA1是等腰梯形，可作外接圓(如圖，圓心O)
此時，直線CB1A是上面兩圓的根軸，直線CA1B是下面兩圓的根軸，因此C是三圓的根心。
由於CA1是根軸，O1O是連心線，故CA1是O1O的垂線，同理CA是O2O的垂線，故C是三角形OO1O2的垂心，於是OC也垂直O1O2，又C是根心，故OC是圓O1和O2的根軸，
PO1=PO2，於是CO1O2是等腰三角形，故角O2CP=角O1CP，又CP是分角線，證畢。

最後一行是不是反號了?
如果我取1/x+1/y+1/z=1，不等式仍成立

請注意到  f(0)=13/8-2<0,故 f(x)無法在(0,3)恆正

後來發現之前的解太複雜了，這個解法比較好