請問第九題 錯在哪？

第十題的題目是否需加上a b c需相異？
否則取a=b=c 也符合題意？

謝謝版上老師們。

第9題
\( \displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{n}+i sin\frac{2\pi}{n} \)，求\( 1 \cdot \omega \cdot \omega^2 \cdot \ldots \cdot \omega^{n-1}= \)？
解1：\(\displaystyle 1 \cdot \omega \cdot \omega^2 \cdot \ldots \cdot \omega^{n-1}=\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}=\left( cos \frac{2\pi}{n}+i sin \frac{2\pi}{n} \right)^{\frac{n(n-1)}{2}}=(cos \pi+i sin \pi)^{n-1}=\cases{1,當n為奇數時\cr-1,當n為偶數時} \)
解2：\( \displaystyle 1 \cdot \omega \cdot \omega^2 \cdot \ldots \cdot \omega^{n-1}=\omega^{\frac{n(n-1)}{2}}=(\omega^n)^{\frac{n-1}{2}}=1^{\frac{n-1}{2}}=1 \)
請指出解1，解2何者錯誤？理由何在？

應該要整個指數弄進去



第10題
試證明\( \forall a \in N \)，則存在\( b,c \in N \)，使得\( a^2,b^2,c^2 \)成等差數列。

的確要加上a、b、c相異才好
這題可取\(b=5a,c=7a\)

謝謝鋼琴老師回答。
第十題的b和c是如何找到的 能給提示嗎？

謝謝了。

\(\begin{align}
  & 2{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}} \\
& {{\left( 2b \right)}^{2}}={{\left( c+a \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}} \\
&  \\
& 2b=\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)k \\
& c+a=\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)k \\
& c-a=2mnk \\
&  \\
& a=\left( \frac{{{m}^{2}}-2mn-{{n}^{2}}}{2} \right)k \\
& b=\left( \frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}{2} \right)k \\
& c=\left( \frac{{{m}^{2}}+2mn-{{n}^{2}}}{2} \right)k \\
\end{align}\)
取\(k=a,m=3,n=1\)，可得\(b=5a,c=7a\)

請問第3題
若\( 10^{0.301}=2 \)，\( 10^{0.4771}=3 \)，則\(10^{-0.0512}=\)？

我用內插法求得答案為 0.88, 可是答案給的卻是 8/9, 想請問正確的做法。

-0.0512 = 3 × 0.301 - 2 × 0.4771

請問老師, 0.301 和 0.4771 前面的係數是如何算出是 3 和 -2 的呢？

-0.0512 很接近 0，所以很容易湊出來

使用輾轉相除法