設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為　　　。

太佩服了。
這個問題擴展到一般的情況，
也就是\(P\)點坐標改為\((a,b)\)，
不知有沒有通解表示法?

請問第一行周長=2r 是怎麼來的?
能否詳細說明您的圖形畫法?

看來這是一份算得很過癮但是會邊算邊罵的題目，選題真的是關鍵了，好幾題會讓人走火入魔的題目，跳過才是上策。

7.
\(k\)為整數，若\(x^3+12x^2+(36+2k)x+280+12k=0\)有三個整數根，試求\(k=\)　　　。
[解答]
第7題也是其中一題吧，
f(x)=x^3+12x^2+(36+2k)x+280+12k
設 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，其中a,b,c皆為整數，
則a+b+c=-12，ab+bc+ca=36+2k，abc=-280-12k
考慮f(-6)=(-6-a)(-6-b)(-6-c)=280，令a1=-6-a，b1=-6-b，c1=-6-c，則
(a1)(b1)(c1)=280.....................................(1)式
a1+b1+c1=-18-(a+b+c)=-6......................(2)式
(a1)(b1)+(b1)(c1)+(c1)(a1)=2k..........(3)式
由第(2)式可知a1，b1，c1為三偶或兩奇一偶，再由第(3)式知兩奇一偶不合，
因此為三偶，可設a1=2*(a2)，b1=2*(b2)，c1=2*(c2)，
代入(1)式及(2)式可得
(a2)(b2)(c2)=35，
a2+b2+c2=-3，
可知a2、b2、c2之解為-1、-7、5，
依序帶回可得k= -66

第2題.
設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[提示]
腦補細節，或許 tuhunger 老師原本的想法更妙

先取 \( O' \) 滿足 \( \overline{O'P} = O' \) 到 \( x, y \) 軸的距離，如 #11 樓的計算得 \( O'(6,6) \)

做圓 \( O' \) 與 \( L \) 相切，因 \( \overline{O'P} = 6 \)，故此圓之半徑 \( \leq 6 \)，此圓落在第一象限之內或與坐標軸相切。

過 \( A, B \) 分別對圓 \( O' \) 做另一條異於 \( L \) 之切線，分別切圓 \( O' \) 於 \( R, S \)

則有 \( \overline{AR} + \overline{BS} = \overline{AB} \) (切線段長相等)

故\( \triangle OAB \) 之周長 \( = \overline{OA} + \overline{AR} + \overline{OB} + \overline{BS} \)

令 \( r \) 為圓 \( O' \) 之半徑 \( (\alpha,0) \) 為 \( A \) 之坐標，則 \( \overline{AR} = \sqrt{ 6^2 + (6-\alpha)^2 - r^2} \geq |6-\alpha| \)

因此 \( \overline{OA} + \overline{AR} \geq \alpha + |6-\alpha| \geq 6 \)

同理 \( \overline{OB} + \overline{BS} \geq 6 \)

綜合兩不等式有 \( \triangle OAB \) 之周長 \( \geq 12 \) 且當 \( L \) 與圓 \( O' \) 相切於 \( P \) 點時等號成立。

14.
\(x,y,z\)均為正實數，若滿足\(\cases{\displaystyle x\le \frac{z^2}{4+z^2}\cr \frac{y}{2}\le \frac{4x^2}{1+4x^2}\cr \frac{z}{4}\le \frac{y^2}{1+y^2}}\)，試求所有可能的\(x=\)　　　。
[解答]
第14題這種題目大概都要朝某個不等式成立的情況去想，
這題是要考慮算幾不等式，
將三個不等式右邊的分母使用算幾不等式，可得
x<=z/4，
y/2<=x，
z/4<=y/2，
可知三個算幾不等式皆須成立，
因此x=1/2，y=1，z=2

\(\begin{align}
  & b\times \left( \frac{1-{{t}^{2}}}{2t}+\frac{1+{{t}^{2}}}{2t} \right)+a\times \left( \frac{2t}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}} \right)+a+b \\
& =b\times \left( 1+\frac{1-t}{t} \right)+a\times \left( 1+\frac{2t}{1-t} \right)+a+b \\
& =\frac{b\left( 1-t \right)}{t}+\frac{2at}{1-t}+2a+2b \\
& \ge 2\sqrt{2ab}+2a+2b \\
\end{align}\)
周長的最小值為\(2\sqrt{2ab}+2a+2b\)
(1)當\(2a=b\)時，等號成立於\(t=\frac{1}{2}\)，此時面積為\(\frac{1}{2}\left( a+\frac{3}{4}b \right)\left( b+\frac{4}{3}a \right)=ab+\frac{2}{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{8}{{b}^{2}}\)
(2)當\(2a>b\)時，等號成立於\(t=\frac{-b+\sqrt{2ab}}{2a-b}\)，此時面積小弟不想算，留給有耐心的人，不會是\(ab+\frac{2}{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{8}{{b}^{2}}\)就是了
(3)當\(2a<b\)時，等號成立於\(t=\frac{-b-\sqrt{2ab}}{2a-b}\)

想請教100桃園新進聯招的題目..也可以仿用#10的作法嗎?謝謝
題目如下：\(f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2y+y^2x\)，已知\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=1 \)，則\(f'(x)=\)?
ANS:\(1+x^2\)

應該可，但你題目是不是打錯了?
我覺得題目應該是\(f(x+y)=f(x)+f(y)+(x^2)y+(y^2)x…\)
若是這樣的話，答案是沒錯的

解法:對\(y\)微=>\(f'(x+y)=0+f'(y)+x^2+2xy\)
\(y=0\)代入，得\(f'(x)=f'(0)+x^2+0=1+x^2\)

你是對的..我忘了括號~thx
用這個方法我卡住哩..可以寫一下詳解嗎~謝謝~