這次真的很棒

連計算證明題都公布而且有詳解

分享一下第7題的其他解法

[ 本帖最後由 czk0622 於 2015-5-6 02:08 PM 編輯 ]

請問第11題的解法，看不懂官方詳解的說明...
有請各位高手幫忙說明了，謝謝!!

第 11 題
先簡化成四張牌 A1、A2、B1、B2 (字母相同者同色)

(1) 四張皆未知
先隨意翻開一張，假設是 A1，接著
(i) 有 1/3 的機率翻到 A2，再來就把 B1 和 B2 翻開，共翻了四張牌，期望值是 4 * (1/3)
(ii) 有 2/3 的機率翻到 B1 或 B2，假設翻到 B1，A1 和 B1 兩張都蓋起來，再來翻開二張未知牌的其中之一 (A2 或 B2)
假設翻到 A2，則依續翻開 A1、B1、B2，共翻了六張牌，期望值是 6 * (2/3)
E1 = 16/3

(2) 有一張已知
假設已知 A1 是哪一張，先從未知的三張隨意翻開一張
(i) 有 1/3 的機率翻到 A2，這樣共翻四張牌，期望值是 4 * (1/3)
(ii) 有 2/3 的機率翻到 B1 或 B2，假設翻到 B1，接著有 1/2 的機率翻到 B2，這樣共翻四張牌，期望值是 4 * (2/3) * (1/2)
(ii) 有 2/3 的機率翻到 B1 或 B2，假設翻到 B1，接著有 1/2 的機率翻到 A2，先蓋回二張牌，此時四張牌的顏色排序均已知，依續翻開，這樣共翻六張牌，期望值是 6 * (2/3) * (1/2)
E2 = 14/3

(3) 有二張已知
不管已知的兩張是同色或異色，總共都是翻四張牌
E3 = 4

接著推廣到六張牌 A1、A2、B1、B2、C1、C2
先翻開一張牌，假設是 A1
(1) 有 1/5 的機率翻到 A2，此時剩四張牌均未知，期望值是 (2 + E1) * (1/5)

(2) 有 4/5 的機率翻到 A2 以外的牌，假設是 B1，蓋回 A1 和 B1 這二張，接著有 2/4 的機率翻到 A2 或 B2，假設翻到 A2，接著翻開 A1，此時已翻了四次牌，剩餘的四張牌中，已知 B1 這張牌，期望值是 (4 + E2) * (4/5) * (2/4)

(3) 有 4/5 的機率翻到 A2 以外的牌，假設是 B1，蓋回 A1 和 B1 這二張，接著有 2/4 的機率翻到 C1 或 C2，假設翻到 C1，
接著有 1/3 的機率翻到 C2，此時已翻了四次牌，剩餘的四張牌中，已知 A1 和 B1 這二張牌，期望值是 (4 + E3) * (4/5) * (2/4) * (1/3)

(4) 有 4/5 的機率翻到 A2 以外的牌，假設是 B1，蓋回 A1 和 B1 這二張，接著有 2/4 的機率翻到 C1 或 C2，假設翻到 C1，
接著有 2/3 的機率翻到 A2 或 B2，假設翻到 A2，蓋回 C1 和 A2 這二張，翻開 A1 和 A2，此時已翻了六次牌，
剩餘的四張牌中，已知 B1 和 C1 這二張牌，期望值是 (6 + E3) * (4/5) * (2/4) * (2/3)

全部加起來是 26/3

話說這種題目在考場有幾個人可以做出來？

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-5-13 12:40 AM 編輯 ]

第11題，個人覺得沒有很好算，但所幸只有六張牌，依各張牌第一次被翻出來的順序排，只有 90 種可能，可以暴力

AABBCC*6→6
AABCBC*6→8
AABCCB*6→8
ABABCC*6→8
ABACBC*6→10
ABACCB*6→8
ABBACC*6→8
ABBCAC*6 →10
ABBCCA*6 →8
ABCABC*6 →10
ABCACB*6 →10
ABCBAC*6 →10
ABCBCA*6 →10
ABCCAB*6 →8
ABCCBA*6 →8

*6 表小 ABC 互換，認真列出15種情況，再分別計算，也會得到 \( \frac{ 10\times 6 + 8 \times 8 + 6 }{15} = \frac{26}{3} \)

寸絲兄，您連暴力都是一種美學

不好意思，我看不懂第七題的解答
可以解釋一下嗎?
謝謝

Q.jpg (90.98 KB)

2015-12-22 13:24

[ 本帖最後由 chiang 於 2015-12-22 01:24 PM 編輯 ]

因為兩人一次只能移動 1 格或 2 格或 3 格

令f(n)為中間有n格之走法(定義)，某人先動而提前結束之方法數，
n=0，甲先向右動1格==>結束 (可畫畫看，當甲乙間隔數0時)
n=1，甲先向右動1格，乙向左動1格==>結束  (可畫畫看，當甲乙間隔數1時)
     或  甲向右動2格==>結束  
n=2，甲先向右動1格，乙向左動1格，甲向右動1格==>結束  (可畫畫看，當甲乙間隔數2時)
           甲先向右動1格，乙向左動2格==>結束
     或  甲先向右動2格，乙向左動1格==>結束
     或  甲先向右動3格==>結束
定義f(n)是n格、"其中一人動完"則結束方法數(不管甲或乙動，可參考上面n=0、1、2)，則
case1  甲第一步走1格，則後面剩下(n-1)格去走，方法數f(n-1).....根據定義....(n-1)個間隔讓其中一人走完
case2  甲第一步走2格，則後面剩下(n-2)格去走，方法數f(n-2).....根據定義....(n-2)個間隔讓其中一人走完
case3  甲第一步走3格，則後面剩下(n-3)格去走，方法數f(n-3).....根據定義....(n-3)個間隔讓其中一人走完
三種情況會兩兩互斥，組合起來，總和等於間隔n時的走法，則可列式f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)
可參考：99清水高中第10題(#10瑋岳老師解法)，
https://math.pro/db/viewthread.p ... B%E6%B8%85%E6%B0%B4
以上是參考99解法+個人理解+#17算式，若有不妥還請指教。

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-22 02:13 PM 編輯 ]