分享13題的一個想法
(1+x+x2++x25)(1+x+x2+x3++x12)2求x24項的係數
[解答]
其中(1+x+x2+x3++x12)2展開後是一個24次的多項式 裡面任一項
皆可在(1+x+x2++x25)中恰找到一項 使其展開後冪次為x24又(1+x+x2++x25)中每項係數皆為1
故x24之係數被(1+x+x2+x3++x12)2展開後的係數所決定
因此x=1代入(1+x+x2+x3++x12)2得132=169

想請教#4:算得 |1/1+2p|<1  似乎少考慮了甚麼
#6
#7
#11   
#12(用取捨原理算300 不知哪裡少算)
#15
#16
#17
#18  
抱歉..有點多不知怎下手...先謝謝願意分享思路的老師們了!

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2015-4-21 04:03 PM 發表
想請教#4:算得 |1/1+2p|

第4題:
設tan,tan為方程式x2+(2p−1)x+4p2=0之二根，若limnnk=0tank(+) 之值存在，則p之範圍為　　　。
[提示]
還有方程式的判別式可以用

第6題:
圓心在y軸上，且與雙曲線x2−4y2=1及直線y=4均相切的圓之半徑為　　　。
[提示]
圓心假設(0b),圓方程式x2+(y−b)=(4−b)2帶到雙曲線得到y的一個方程式
然後因為圓和雙曲線會有兩個切點(而且是對y軸對稱),所以切點y座標只有一個,所以把上述算出來的y的方程式用判別式=0解b

第7題:
設2a+2b+2c+2d=11，2(a+b)(c+d)=5，則log(a+b)2log(c2−d2)−log(a+b)log(c−d)2之值為　　　。
(計算至小數第四位，第五位以下無條件捨去，log2=0301log3=04771)
[提示]
所求化簡一下可以得到2log(a+b)log(c+d)
假設A=a+b, B=c+d,用題目給的條件解出A,B

11題:
滿足x+y+z+w=xyzw的正整數x,y,z,w解有　　　組。
[提示]
考古題,把題目一字不漏的丟到google一下就找到了

18題:
設實係數多項式f(x)滿足\displaystyle x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{1}{2}ax^4-\frac{1}{3}x^3+2 \int_0^x t f(t)dt，f(0)=0，若曲線y=f(x)與x軸所圍成的區域面積記為S(a)，則S(a)之最小值為　　　。
[提示]
上一頁有我的想法可以看一下

第 12 題
將AAABBCCD共八個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有　　　種。

去年台中女中考過，這題只是把 2 個 a、3 個 b，改成 3 個 a、2 個 b 而已
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... amp;start=10#p11646

15 題
設f(x)=x^3+ax^2+bx+c，若f(x)之極大值為A，f(x)之極小值為B，且f(x)的一階導函數f'(x)之最小值為C，則A-B+C之最小值為　　　。
[解答]
透過平移(左右移，不改變 A, B, C)，不失一般性可假設 f(x) = x^3 + dx + e

則 f'(x) = 3x^2 +d ，因函數 f 有極大、極小值，故 d<0 ，不妨令 d = -3t^2 ，其中 t>0

則 A = f(-t), B = f(t), C = -3t^2 , A-B+C = 4t^3 - 3t^2

透過微分計算，可知 A - B +C 在 t = \frac12 時有最小值 -\frac14 。


16 題
正數x,y滿足ax+by \le 1，其中(log a)^2+2log b=1，若xy之最大值為M，則M之最小值為　　　。
[解答]
首先先搞清題意， xy 的最大值為 M ，這句的意思是說
「固定一組 (a,b) ，在 x,y 為正數且滿足 ax+by\leq 1 的情況下，所得到的 xy 最大值，即為 M = M(a,b) 」

由算幾不等式有 \frac 12 \geq \frac{ax+by}{2} \geq \sqrt{axby} \Rightarrow xy \leq \frac1{4ab}
其等號在   x= \frac1{2a}, y =\frac1{2b} 時成立，故 M(a,b) = \frac1{4ab}

而 a,b 的限制條件為 (\log a)^2 + 2 \log b =1

故取 \log M(a,b) = -\log 4 -\log a - \log b ( a,b 為限制條件中的真數必為正，故 M 亦正)

令 A = \log a ，以 \log b = \frac{1-A^2}{2} 代入 \log M(a,b) 得 \log M(a,b) = - \log 4 - A - \frac{1-A^2}{2}

配方可得 A = 1 時 \log M(a,b) ，此時 M(a,b) 亦達有最小值 \frac1{40}

15題平移的方法太漂亮了，請容許我寫進詳解裡

不好意思信哥

想跟您請教一下第13題

(1+x+...+x^{25})(1+x+...+x^{12})^2中展開後x^{24}的係數

可以考慮成a+b+c=24 的非負數整數解a=0\sim 25,b=0\sim 12,c=0\sim 12

這部分都可以理解

但是H(3,25)-2H(3,12)這就不太懂了 請幫指點迷津 感恩!!

喔，就只是單純的打錯了0.0
應該是三個數字加起來為24，減掉b\ge 13或c \ge 13的結果
H(3,24)-2H(3,11)

原來如此
因為我用H(3,25)-2H(3,12)去算答案也是169所以才問的
感謝信哥！

請問以下這一題：
一副 52 張的撲克牌, 點數有 A,2,3,...,K 各 4 張, 經隨機洗牌後, 求前二張有 A 或最後一張是 A 點的機率為?

我的作法是
\displaystyle \frac{C(4,2)\cdot 2!\cdot 50!+C(4,1)\cdot 51!-C(4,2)\cdot 2!\cdot C(2,1)\cdot 49!}{52!},
可以麻煩老師幫我指正嗎?