填充6 ??
1. 前二式相減, 得\(x=\frac{c-1}{a-b}\), 即為二式之共同實根.
2. 後二式相減, 得\((1-c)x=b-a\). 若\(1-c=0\), 則前二式之共同根為0, 不合. 故\(1-c\neq0\), 此二式之共同實根為\(x=\frac{a-b}{c-1}\).
3. 故前二式與後二式之根互為倒數, 各設為\(\alpha,\frac{1}{\alpha}\), 帶入一, 三式, 得
\(\begin{align}
\alpha^2+a\alpha+1=0\\
a\alpha^2+\alpha+1=0\\
\end{align}\)
4. 再將上面二式相減, 得\((a-1)\alpha=a-1\). 若\(a-1=1\), 則\(a=1\), 代入第一式並無實根, 不合.
故\(a-1\neq0\), 得\(\alpha=1\), 代入前二式得\(a=-2,b+c=-1\), 故\(a+b+c)=-3\)

有錯請不吝指正.

??  即使算式沒錯, 但討論冗長, 似乎不符本題[3分]的要旨. 想請問更快的方法, 謝謝.

[ 本帖最後由 David 於 2014-6-19 03:35 PM 編輯 ]

填充 6. 出處應該是 TRML 2009 的團體賽第 8 題

翻了一下，以前寫的，基本上做法一樣，個人是沒有覺得特別的冗長

只是配分只有3分，真得少得可憐

除非運氣好，先假設這四個方程式有相同的實根......

原來如此, 多謝了!

觀察 \(\left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}+ax+d=0 \\
& {{x}^{2}}+bx+c=0 \\
\end{align} \right.,\left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}+dx+a=0 \\
& {{x}^{2}}+cx+b=0 \\
\end{align} \right.\) 的四個多項方程式：
(1)        左式的相同根與右式的相同根互為倒數(若存在的話)
(2)        若左式的共同根為1, 則右式的共同根亦為1

本題若已知解唯一(當然沒辦法已知XD)，則可把1的值帶入左式，在不違背題意的情況下，可得到\(a+b+c+d=-2\) (本題\(d=1\))

不過這種做法純粹靠運氣(毫無嚴謹度)，David 兄的做法已經很簡潔了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-19 08:21 PM 編輯 ]

想請教第七題，謝謝

引用:

原帖由 Singing 於 2014-6-20 03:53 PM 發表
想請教第七題，謝謝

8*888=7104 (k=3,有1個1,頭尾各是7與4)
8*8888=71104(k=4,有2個1,頭尾各是7與4)
8*88888=711104(k=5,有3個1,頭尾各是7與4)
.......
7+1*(k-2)+4=1000
k=991

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-20 04:16 PM 編輯 ]

請問hua0127老師
填充30題，可以在具體一些嗎
謝謝

這種做法的觀念大概就是化歸法，轉化成走捷徑問題，往右走一步對應到甲得一票，往上走一步對應到乙得一票
(key word：一路領先問題，可搜尋到很多討論串)
但是兩人的差距可以在兩票以內，畫圖之後考慮那兩條線是走捷徑不能碰到的臨界線
用東北角法即可，但是有趣的是，對角線會成公比為3的等比，可以玩玩看此性質，
附個圖應該比較好懂

很謝謝老師的提點
不過我真的還是看不大懂老師的"東北角法"是甚麼意思
但是去找了一些資料
總算得到一個自己可以理解的想法
不過還是很想厚臉皮的問老師東北角法要怎麼算？？

n(A到C)－n(A’到C)－n(A”到C)+ n(A’到C”) + n(A”到C’)
=c(13,7)-c(13,4)-c(13,3)+ c(13,0)+ c(13,1)
=1716-715-286+1+13
=729