計算1.
已知橢圓x2a2+b2y2=1(ab0)的焦點為F1F2，直線L通過F1且與橢圓交於AB兩點，
(1)求F2AB的周長。
(2)求F2AB面積的最大值。
[解答]
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 x2+y2=a2

新的弦以 AB 表示之，假設其與 F1F2 的夾角為

以 表示三角形面積可得 F2AB=212c2a2−c2sin2sin 

令 t=sin2t，則上式平方為 2=4c2(a2t−c2t2)

當 a22c21 時， \sin^{2}\theta=t=\frac{a^2}{2c^{2}} 時有最大值，開根號再壓扁得最大面積為 ab

當 \frac{a^{2}}{2c^{2}}>1 時， \theta=\frac{\pi}{2}, t=1 時有最大值，壓扁回橢圓時，該弦就是正焦弦，最大面積為 \frac{2b^2c}{a}

回復 10# leo790124 的帖子
是我不小心寫錯，已修正為 \displaystyle \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] ，
也就是 52^2 = 103 \times 26 + 26

請問填充9，11，謝謝

第9題：
已知實係數三次函數\displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3-bx^2+(2-b)x+1，f(x)在x=x_1處有極大值，在x=x_2處有極小值，且0<x_1<1<x_2<2，則a+2b值的範圍為　　　。
[解答]
依題意，即 f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0 之二根 x_1, x_2 滿足 0<x_1<1<x_2<2，且 a>0

故須滿足 f'(0)>0, f'(1)<0, f'(2)>0 且 a>0

由以上限制範圍作圖，利用線性規劃概念可得所求範圍！

第11題：
已知\Gamma為y=ax^3+bx(a>0,b>0)，原點O為其反曲點，射線\vec{OA}在第一象限交\Gamma於A點。若P為曲線段OA上一點，且以P為切點的切線與\overline{OA}平行，則\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=　　　。
[解答]
暫時只想到暴力解，考場要這樣解應該會放棄...

設 f(x)=ax^3+bx \Rightarrow f'(x)=3ax^2+b

設切點 P(t,at^3+bt), t>0，則 \overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x

求 \overleftrightarrow{OA} 與 \Gamma 交點即解方程式 f'(t)x-ax^3-bx=0    \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}t,0

可得交點 A(\sqrt{3}t,3\sqrt{3}at^3+\sqrt{3}bt)

由 O,P,A 三點坐標及三角形的行列式面積公式可得三角形 OAP 面積為 \sqrt{3}at^4  (意外地不難算...)

而弓形面積 \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}t}f'(t)x-ax^3-bx\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}t}-ax(x^2-3t^2)dx=\frac{9}{4}at^4

故得所求 \displaystyle =\frac{\frac{9}{4}at^4}{\sqrt{3}at^4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}

想請教填充2 ,3 .5題 謝謝

填充第二題：
已知x,y\in R，x^2+y^2=25，試求\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}的最大值為　　　。
[解答]
利用x^2+y^2=25
把原式拆成 sqrt(x^2+y^2+8y-6x+25) + sqrt(x^2+y^2+8y+6x+25)
                 =sqrt( (x-3)^2 + (y+4)^2 ) + sqrt( (x+3)^2 + (y+4)^2 )
看成半徑為5的圓上取一點到 (3,-4) , (-3,-4 )的距離和最大
不難看出取 點 (0,5) 時有最大值代入所求為 6 sqrt(10)  
抱歉還不太會用語法，這裡的sqrt 是根號的意思
(我會再花時間看一下寸絲兄的教學XD  讓大家傷眼先說聲不好意思

好久沒上來了，這裡還是一樣充滿熱情，最近又想上來練功一下，
吸取各位先進的知識~

填2.
已知x,y\in R，x^2+y^2=25，試求\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}的最大值為　　　。
[解答]
我是用了凸函數不等式，對任意 a, b>0 ，不等式 \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} 恆成立

以 (a,b) = (8y-6x+50, 8y+6x+50) 代入得

\frac{\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}}{2}\leq\sqrt{\frac{16y+100}{2}}=\sqrt{8y+50}\leq\sqrt{90}

因此 \sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\leq6\sqrt{10}

兩個 \leq 在 (x,y)=(0,5) 時，等號同時成立

故最大值為 6\sqrt{10}

回復 13# Pacers31 的帖子

填11.
已知\Gamma為y=ax^3+bx(a>0,b>0)，原點O為其反曲點，射線\vec{OA}在第一象限交\Gamma於A點。若P為曲線段OA上一點，且以P為切點的切線與\overline{OA}平行，則\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=　　　。
[解答]
透過伸縮變換，面積比保持不變，故不失一般性可假設曲線方程式為 y=x^3+x

然後做相同的積分

填充第二題：
已知x,y\in R，x^2+y^2=25，試求\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}的最大值為　　　。
[解答]
利用 {x^2} + {y^2} = 25
把原式拆成 \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y - 6x + 25}  + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y + 6x + 25} \\ = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}} \end{array}
看成半徑為5的圓上取一點到 (3,-4) , (-3,-4 )的距離和最大
不難看出取點 (0,5) 時有最大值代入所求為  6\sqrt {10}

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-7 07:06 PM 發表
填2. 我是用了凸函數不等式，對任意 a, b>0 ，不等式 \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} 恆成立

柯西不等式也可以~

第3題：
已知數值資料\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}，其中\displaystyle \frac{i}{n}有(2i+1)個，i=1,2,3,\ldots,n，n\in N。設此資料算術平均數為\mu，母體標準差為\sigma，求\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=　　　。
[解答]
設隨機變數 \displaystyle X=\frac{i}{n}, i=1,2,\cdots, or\ n，滿足 \displaystyle P\Big(X=\frac{i}{n}\Big)=\frac{2i+1}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}

由等式 E[X^2]=\sigma^2+\mu^2

可得 \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(\sigma^2+\mu^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}E[X^2]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{i}{n}\Big)^2(2i+1)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i^3+i^2)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\cdots=\frac{1}{2}

111.2.22補充
將 \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} 等n個數的算術平均數記為a_n，其標準差記為b_n，則\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=　　　，\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=　　　。
(81大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-5-7 04:26 PM 發表
第9題：

依題意，即 f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0 之二根 x_1, x_2 滿足 00，則 \overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x

求 \overleftrightarrow{OA} 與 \Gamma 交點即解方程式 f'(t)x-ax^3-bx=0  ...

參考這篇大師們所寫的文章
h ttp://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=604c7541-5cda-4659-aa7b-14369827978b　連結已失效