哈哈    原來 我少考慮到左邊圓外
謝謝你

請問大家怎麼考量呢
我想到的是先假設S=原式
之後乘1/16 去相減

後續卡住 XD

填7.
求無窮級數\( \displaystyle \frac{3 \times 1}{2^4}+\frac{4 \times 2}{2^6}+\frac{5 \times 3}{2^8}+\frac{6 \times 4}{2^{10}}+\ldots \)之值為？
[解答]
乘 \( \frac14 \) 相減就好了，但是這個操作要做兩次

由 Ratio Test，知該級數收斂，令 \( S=\sum\limits _{n=2}^{\infty}\frac{n^{2}-1}{4^{n}} \)

則 \( (1-\frac{1}{4})S=\frac{3}{16}+\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{2n-1}{4^{n}} \Rightarrow\frac{3}{4}S=\frac{3}{16}+\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{2n-1}{4^{n}} \)

\( \Rightarrow(1-\frac{1}{4})(\frac{3}{4}S)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{16}+\frac{5}{4^{3}}+\sum\limits _{n=4}^{\infty}\frac{2}{4^{n}} \)

\( \Rightarrow\frac{9}{16}S=\frac{9}{64}+\frac{5}{64}+\frac{2}{256}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{11}{48}
  \Rightarrow S=\frac{11}{48}\cdot\frac{16}{9}=\frac{11}{27} \)。

大家都好強…
好厲害…
:-D

第四題
設\(ABCD\)為矩形，\(\overline {AB}  = 1,\overline {BC}  = 2,P\)為射線\(\overrightarrow {BC} \)上一點，使\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\)，求\(\overline {PD} \)長為?
(我先說我的想法，在考場時候，這個題目很容易思考到座標化，如下圖。可以算出直線 \(BD\)的方程式\(y = \frac{1}{2}x\)，然後假設\(p\)點的參數式，\(p(2t,t),t \ge 0\)，由於\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\)的值為正，所以這個角度為銳角，因此\(p\)會落在矩形外面，如下圖的參考圖形。我想藉由向量內積。向量\(PA\)，向量\(PC\)內積去列出一個等式。解出 \(t\)這個未知數。列出來的等式如下
\[\sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 - t} \right)}^2}}  \times \sqrt {{{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}}  \times \frac{3}{{\sqrt {10} }} = 5{t^2} - 3t\]
如果要解出\(t\)，兩邊一平方後，就變成4次的方程式，而且係數很大。想法可以，但算不出來。在考場上就掛住了~~~

剛剛自己訂正又想到用三角函數的方法去做，答案有算出來了。

\(\begin{array}{l}
\angle APC = \theta  = \theta 2 + \theta 1,\tan \theta  = \frac{1}{3}\\
\Rightarrow \left( {\theta 2 + \theta 1} \right) + \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = {90^0}\\
\Rightarrow \theta  = {90^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)\\
\frac{1}{3} = \tan \theta  = \tan \left( {{{90}^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)} \right) = \cot \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}
\end{array}\)

\[\frac{1}{3} = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - (\tan \theta 3)(\tan \theta 4)}}{{(\tan \theta 3) + (\tan \theta 4)}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - \frac{{2t - 2}}{t} \times \frac{{t - 1}}{{2t}}}}{{\frac{{2t - 2}}{t} + \frac{{t - 1}}{{2t}}}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{5{t^2} - 5t}}{{2{t^2}}} = \frac{{6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6}}{{2{t^2}}}\]

因為\(t\)大於0，因此得到分子會相等。

\[5{t^2} - 5t = 6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6\]

解出來 \[t = 3 \vee \frac{2}{5}\]  \(t = \frac{2}{5}\)不合

由此可知\(p(6,3)\),就可以解出 \[\overline {PD}  = \sqrt {20} \]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:11 PM 編輯 ]

填 10. 這類的排組，每個人的方法都略有不同，提供一個方式

先慮丁戊兩人在前三和後三的分布為
(2,0) xoxooo，丁戊有 2 種排法，第一個 o，僅有兩人可站，故此類有 \( 2 \times 2 \times 3! = 24 \)
(1,1) xooxoo，丁戊有 \( (3+3+2)\times 2 =16 \) 種排法；甲乙丙三人恰一人只能排後兩個 o；排完後己有三個位置可選；己選完位後，甲乙丙另兩人恰剩 1 種排法，故此類有 \( 16 \times 2 \times 3 = 96 \)
(0,2) oooxox，丁戊有 2 種排法，己有 4 個位置可選，選後甲乙丙恰一種排法，故此類有 \( 2 \times 4 =8 \) 種

綜合以上，共有128 種排法。

排列組合這題目，我當下直覺放棄。考慮很多可能，算了半天又不一定對。等等再來好好訂正算一次。

第五題  \(\Delta ABC\)中，已知\(\overline {BC}  = 4\)，\(\vec{BC} \cdot \vec{CA} =2 \vec{CA} \cdot \vec{AB} =3 \vec{AB} \cdot \vec{BC} \)
求線段\(AC\)長度為?
解
\[ab\cos \left( {\pi  - C} \right) = 2bc\cos \left( {\pi  - A} \right) = 3ca\cos \left( {\pi  - B} \right)\]
\[ - ab\cos C =  - 2bc\cos A =  - 3ca\cos B\]
\[ab\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 2bc\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 3ca\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\]
\[{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2}\\
{a^2} + {b^2} - {c^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
- 2{b^2} - 6{c^2} =  - 6{a^2}\\
6{b^2} - 6{c^2} = 3{a^2}
\end{array} \right.\]
\[{b^2} = \frac{9}{8}{a^2} \Rightarrow b = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \times 4 = 3\sqrt 2 \]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:31 PM 編輯 ]

用微分=0可求出n=3，6，-2/3
當n=3，所求有min=6

填充題第六題
求\(\log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}\sqrt {1 - {x^2}}  \ge \log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}y\)的圖形面積為?
解
(1)  此時取出的範圍是在圓內
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 1 > 1\\
\sqrt {1 - {x^2}}  > 0\\
y > 0\\
\sqrt {1 - {x^2}}  \ge y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y > 0\\
- 1 < x < 1\\
y > 0\\
{x^2} + {y^2} \le 1
\end{array} \right.\]

(2) 此時取出的範圍是在圓內
\[\left\{ \begin{array}{l}
0 < x + y + 1 < 1\\
\sqrt {1 - {x^2}}  > 0\\
y > 0\\
\sqrt {1 - {x^2}}  \ge y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x + y + 1 < 1\\
- 1 < x < 1\\
y > 0\\
{x^2} + {y^2} \ge 1
\end{array} \right.\]

\[\left( {\frac{1}{2} \times {{\left( 1 \right)}^2} \times \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right) + \left\{ {\frac{1}{2} \times 1 \times 1 - \frac{1}{2}{{\left( 1 \right)}^2} \times \frac{\pi }{4}} \right\} = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}\]  
答案  \[\frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:53 PM 編輯 ]

不知道您怎麼微的，這個根號讓人不敢領教，只好由 WolframAlpha 代勞

differential sqrt(x^4/16-3/2x^2-6x+34)+sqrt(x^4/16+x^2/2+1)
solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0

solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0

做出來的結果，微分 =0，僅有 x=3，並非您寫的 3 個？