老師好，第一題想了很久，也試圖用插值多項式處理
但是找無規律，不知道怎麼切入比較好?
謝謝老師!

來這裡找吧，這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

1.
設f(x)為一317次多項式滿足f(k)=k1，k=123318，則f(320)=　　　。
[解答]
要直接用插值多項式做，也不是不可以，只是組合恆等式要熟一點，可以像下面這樣做

以拉格朗日，插值多項式表示之，令 f(x)=k1fk(x) ，其中 fk=i=1k−1(x−i)318i=k+1(x−i)i=1k−1(k−i)318i=k+1(k−i)=(−1)k(k−1)!(318−k)!i=1k−1(x−i)318i=k+1(x−i) 

而 k1fk(320)=k(−1)k319!320−k1(k−1)!(318−k)!=(−1)k320319−k320!k!(320−k)!=(−1)k320319−kCk320。

注意 (1+x)320=320k=0Ck320xk，微分得 320(1+x)319=320k=1kCk320xk−1。

將 x=−1 代入得 320k=0(−1)kCk320=0, 320k=1(−1)k−1kCk320=0。

故所求
f(320)=318k=1k1fk(x)=320319318k=1(−1)kCk320+1320318k=1(−1)k−1kCk320=320319(−1+320−1)+1320(320−319320)=−160159

做樣，挺累的...而且一不小心就會出錯，所以還是看樓上連結裡的方法吧

感謝各位!
也謝謝寸絲老師將我的不足說明
謝謝!

填充5
終於找到，是93年新竹區筆試一第二題，不一樣的是邊長為4，以及求的是BD

填 5. 再補另一個解法：

102Jianguo5.png (26.03 KB)

2013-4-16 20:44

由面積可知正方形之邊長為 43 。注意直角的位置，可知正方形左下角為原來的 H，右上角為原來的 I。

並且正方形之一邊(最右邊)為 2GI=43  GI=243 。坐標化，

令 G(00)F(−10)B(−23−23) , r=243 。

再令   為一圓，其圓心為 G，半徑為 r，則 FE 為圓 之切線。

計算此切線方程式得 y=−34−3(x+1) ，其與 y=−23  之交點 E  之坐標為 (\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}) 。

故所求 \overline{BE}=\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1+\frac{3}{2}=\frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} 。

6.
空間中，有四個求兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球皆外切，則其半徑=　　　。

求救第6題
算了兩次都同一解
我是用坐標化
設計出四個外切圓 , 他們的圓心位置成了一個還算好算的四面體
接著假設了第五圓的方程式 , 並求其半徑
不過我的答案是\displaystyle \frac{-110+12\sqrt{133}}{41}
直覺這麼醜不是答案 , 又想說是建中 , 醜好像也是應該的
請問我這樣的方向是正確的嗎
若正確 , 我就再拼一次
若錯誤 , 請救援~

想請問第八題，四次方程式有實數解，則可能四實數，或二實二虛。
能否請版上各位先進給一個方向讓我繼續想下去

填 8.
若x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有實數解，則a^2+b^2的最小值為　　　。
[提示]
那樣係數首尾對稱的式子

常用 \displaystyle t = x+\frac1x 代換處理之

這樣就可以降低成二次方程式

99年台中區複賽二第三題
我是分情況討論