臨時寫的...不知道對不對...^^看看先

第 2 題：

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}p&q\\ r&s\end{array}\right]\)，則

依題意可得 \(\displaystyle \displaystyle A^3=\left[\begin{array}{cc}3&-10\\ 2&-7\end{array}\right]\) 且 \(\displaystyle A^5=\left[\begin{array}{cc}7&-25\\ 5&-18\end{array}\right]\)

因為 \(\det(A^5)=-1\neq0\)，可知 \(A^5\) 為可逆矩陣，

因此，\(\displaystyle A=\left(A^3\right)^2\cdot \left(A^5\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3&-10\\ 2&-7\end{array}\right]^2\cdot\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}-18&25\\ -5&7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&-5\\ 1&-3\end{array}\right]\)

我了解了，感謝andyhsiao及weiye老師的解答，感謝。

想請教第1和6題
感謝

第一題 令 \( p_n \) 為第 n 次取到白球的機率，前手上是白或紅，可得遞迴式：

\( p_{n+1}=\frac{1}{3}p_{n}+\frac{1}{2}(1-p_{n})=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}p_{n} \)

\( p_{0}=1, p_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}, p_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}, p_{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{9}=\frac{23}{54} \)。

\( P( 6th W \mid 3rd W)=p_{3}=\frac{23}{54} \) (Markov chain)


第六題 由參數式假設另兩點(不在 x 軸上) 的坐標為 \( (\pm a\cos\theta,b\sin\theta) \), 其中 \( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)

故等腰梯形之面積為 \( (2a+2a\cos\theta)\cdot b\sin\theta\cdot\frac{1}{2}=ab(1+\cos\theta)\sin\theta \)

利用二倍角公式可得 \( (1+\cos\theta)\sin\theta=2\cos^{2}\frac{\theta}{2}\cdot2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=4\cos^{3}\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} \)

再由算幾不等式 \( \displaystyle \frac{1}{4}=\frac{\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}+\sin^{2}\frac{\theta}{2}}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{\cos^{6}\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta}{2}}{27}} \)

因此當 \( \frac{\theta}{2}=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ} \) 時，梯形面積有最大面積 \( 4\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2^{4}}ab=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-12-31 10:00 AM 編輯 ]

請問第三題的三角函數怎麼做呢？

(依官方公布版題號)

第 3 題：解方程式 \(\cos 4\theta=\sin\theta\)，其中 \(0\leq\theta<2\pi\)。

解：

\(\cos 4\theta=\sin\theta\)

\(\displaystyle\Rightarrow\cos 4\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}-\theta+2k\pi\) 或 \(\displaystyle 4\theta = \theta-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \theta = \frac{(1+4k)\pi}{10}\) 或 \(\displaystyle \theta = \frac{(-1+4k)\pi}{6}\) ，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)

且因為 \(0\leq\theta<2\pi\)，所以 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{10},\frac{5\pi}{10},\frac{9\pi}{10},\frac{13\pi}{10},\frac{17\pi}{10},\frac{3\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\mbox{ 或 }\frac{11\pi}{6}\)

請問老師們 第10題 如何利用3個基本sigma公式去導出 4次方的sigma
謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2013-5-21 08:41 PM 編輯 ]

101中一中第一題，沒記錯一心老師有解過