計算證明 2. 來個不高明的數歸納法好了，如果有什麼其它高招，請不吝告訴在下

先分析 \( \{m\} \) 這個函數。注意 \( (n+\frac{1}{2})^{2}=n^{2}+n+\frac{1}{4}, (n-\frac{1}{2})^{2}=n^{2}-n+\frac{1}{4} \)。

若 \( n^{2}-n<m\leq n^{2}+n, m,\, n\in N \), 則 \( \{m\}=n.\) 注意 \(\dot{\cup}(n^{2}-n,n^{2}+n]=(0,\infty) \).

以數學歸納法證之：

\( n=1, f(1)=2=1+\{1\} \), 顯然成立。

設 \( m\leq k  (k\geq1) \) 時成立，分成二情況

(情況一)若 \( k=n^{2}+n \), for some \( n\in N \).

由歸納法假設有 \( f(k)=(n^{2}+n)+n=n^{2}+2n \). 因此下個數 \( (n+1)^{2} \) 是完全平方數

故 \( f(k+1)=f(k)+2=(n^{2}+n+1)+(n+1)=k+1+\{k+1\} \).

(情況二)若  \( n^{2}-n<k<n^{2}+n, \Rightarrow n^{2}<f(k)<n^{2}+2n\Rightarrow \) 下一個數 \( n^{2}<f(k)+1<(n+1)^{2} \) 非完全平數

所以 \( f(k+1)=f(k)+1=k+\{k\}+1=(k+1)+\{k+1\} \)。

由數學歸納法得證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-28 11:56 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-6-26 05:14 PM 發表
計算1
最大周長出現在B在弧AC的中間點，  ...

(1)想請問要如何證明在弧AC的中間點
(2)順便想問填充8
\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\( ∠BAC=84^{\circ} \)，\( P \)在其內部\( ∠PBC=12^{\circ} \)，\( ∠PCB=30^{\circ} \)，則\( ∠APB= \)？

填充八
在 \( \Delta PBC \) 中，\(\displaystyle \frac{PB}{\sin30^o}=\frac{BC}{\sin138^o} \)
\(\displaystyle PB=\frac{\frac{1}{2}BC}{\sin42^o}=AB \)
所以
\(\displaystyle \angle{APB}=\frac{1}{2}(180^o-(48^o-12^o))=72^o \)

謝謝，太強了，竟然可以看出來！！！不知還有沒有將圖形旋轉或平移的作法！

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-1 12:01 AM 編輯 ]

\(a\)為正無理數，\(p=a^3-a^2-13a+6\)，\(q=a^2-4a\)均為有理數，則\((p,q,a)=\)？
[解答]
\(q+4=(a-2)^2\)⇒\(a=2\pm \sqrt{4+q}\)，(\(q>-4\))
(1)
當\(a=2+\sqrt{4+q}\)，此時\(p=(2+\sqrt{4+q})^3-(2+\sqrt{4+q})^2-13(2+\sqrt{4+q})+6\)
整理得\(p=\sqrt{4+q}(q-1)+(4+5q)\)，\(\sqrt{4+q}\in Q^{*} \)⇒\(q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}\)
(2)
當\(a=2-\sqrt{4+q}\)，此時\(p=(2-\sqrt{4+q})^3-(2-\sqrt{4+q})^2-13(2-\sqrt{4+q})+6\)
整理得\(p=\sqrt{4+q}(-q+1)+(4+5q)\)⇒\(q=1，p=9，a=2-\sqrt{5}<0\)(不合)
綜合以上：⇒\(q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}\)

謝謝寸絲的填充6，我可能要好好的練功了！

個人以為，在考場中用三角函數硬作，解出來的機會比較大。
這樣的問題出現很多次了，我上面的作法其實不夠一般，應該要這樣作:
假設(底下都省略度) \(\displaystyle \angle{PAB}=x \)


\(\displaystyle \frac{PA}{PB}=\frac{\sin36}{\sin x} \)


\(\displaystyle \frac{PB}{PC}=\frac{\sin30}{\sin12} \)

\(\displaystyle \frac{PC}{PA}=\frac{\sin(84-x)}{\sin18} \)

然後三式相乘得到

\(\displaystyle \sin36 \sin30 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \sin18 \)

然後其實應該先猜答案是多少，當然，畫個近似準確的圖是重要的，這樣才可以猜測。
像這裡先整理最後的式子得到

\(\displaystyle \cos18 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)

這樣應該不難猜出答案是 \( 72 \)
接著朝目標前進

\(\displaystyle \sin72 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)

\(\displaystyle \sin(156-x)+\sin(x-12)=\sin(x+12)+\sin(x-12) \)

\(\displaystyle \sin(156-x)=\sin(x+12) \)

剩下就是判斷哪個才是解了。


順便放上早上頭腦清醒的狀態:

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 10:45 AM 編輯 ]

填充題第9題

不知道有沒有什麼提示

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587

填充題第9題

解，

三白球 → ○○○

三白球形成4個空隙

五黑球放到四個空隙，平均每個空隙有 5/4 顆黑球(空隙中黑球個數的期望值)

→ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●)

由左到右取球，取到白球取完時，共取了 (1+5/4)*3 = 27/4 顆球

謝謝
我懂了