感謝寸絲老師！

請教一下第4,10題 謝謝~~~!!!

請教第8題

我算出來是4/3

我假設p(t,t^2)
我是利用y=根號(x) 對y軸做積分(0~t^2)
拋物線與y軸,PB所微的面積為2/3*t^3

對不起
我把三角形面積算錯了

我不知如何刪除此篇

4.
將一個半徑為4公分的水晶球，放入一個邊長為8公分的正方體容器，想在容器的八個角落再塞入八個半徑相同的小水晶球，則小水晶球的最大半徑為多少公分？
[解答]
設小水晶球半徑\(r\)
立方體的斜對角線\(8\sqrt 3  = 4 \cdot 2 + 2r\sqrt 3  + 2r\)
移項即可解出\(r\)
這題考出來算是秒殺題了
關鍵在斜對角線與內接球半徑的關係

110.2.28補充

更多類似問題https://math.pro/db/thread-1268-1-1.html

8.
設\(P\)在拋物線\(y=x^2\)上，且在第一象限內的任意一點，如圖所示，直線\(PB\)與\(x\)軸平行，且交\(y\)軸於\(B\)點；直線\(PA\)是拋物線過\(P\)點的切線，且交\(y\)軸於\(A\)點。若拋物線、直線\(PB\)與\(y\)軸所圍的區域面積為\(R\)，\(\Delta PAB\)的面積為\(T\)，則比值\(\displaystyle \frac{R}{T}=\)？
[解答]
設切點P為\((\sqrt t ,t)\)，可算出切線交y軸於A點\((0, - t)\)
\(\Delta PAB = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot \sqrt t  = t\sqrt t \)
拋物線與y軸、\(\overline {PB} \)所夾面積\(\int_0^{\sqrt t } {(t - {x^2})} dx = \frac{2}{3}t\sqrt t \)
故所求比值為\(\frac{2}{3}\)

10.
已知函數\(f(x)=2x^3+3ax^2+6a(a-1)x+2\)，\((a\in R)\)，若\(f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切，且在切點處\(f(x)\)有極小值，則\(a\)值為何？
[解答]
\(f'(x) = 6{x^2} + 6ax + 6(a - 1) = 0\)解得\(x =  - 1,1 - a\)
若\(1 - a >  - 1\)，即\(a < 2\)
\(f(1 - a) = 0\)解得\(a = 2 - \sqrt 3 \)

若\(1 - a <  - 1\)，即\(a > 2\)
\(f(-1) = 0\)，此時\(a\)無解
故答案只有一個

請問各位高手，第16題的解釋與看法要如何寫才算完整，應該不是只是利用黎曼合作出答案吧?

9 （2）
我是用特徵向量把答案算出來，可是覺得算得有點痛苦……
想請教各位老師的算法

9 (2)

\( A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\
\frac{1}{5} & \frac{-2}{5}
\end{bmatrix} \)，特徵值 \( \lambda = =\pm\frac{\sqrt{5}}{5} \)，對應之特徵向量為 \( v_{1}=\begin{bmatrix}2+\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}
, v_{2}=\begin{bmatrix}2-\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix} \)。

\( \begin{bmatrix}1\\
3
\end{bmatrix} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} v_1 + \frac{3+\sqrt{5}}{2} v_2 \)

乘 99 次得到 \( \begin{bmatrix}a_{100}\\
b_{100}
\end{bmatrix}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot5^{50}v_{1}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot5^{50}v_{2}\Rightarrow\begin{bmatrix}a_{1}\\
b_{1}
\end{bmatrix}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{5}v_{1}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot(-\sqrt{5})v_{2} \)

化簡得 \( \frac{3\sqrt{5}-5}{2}\begin{bmatrix}2+\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}\begin{bmatrix}2-\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\begin{bmatrix}2\sqrt{5}\\
0
\end{bmatrix}-\frac{5}{2}\begin{bmatrix}4\\
2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15\\
0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}10\\
5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\
-5
\end{bmatrix} \)

9.
設\(n\in N\)，兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)滿足\(\cases{a_{n+1}=5b_n+2b_{n+1}\cr b_{n+1}=5a_n-2a_{n+1}}\)
(1)試求二階方陣\(A\)，使得\(\left[\matrix{a_{n+1}\cr b_{n+1}}\right]=A\left[\matrix{a_n\cr b_n}\right]\)，\(n\in N\)。
(2)已知\(a_{100}=5^{50}\)，\(b_{100}=3\cdot 5^{50}\)，試求\(a_1\)及\(b_1\)之值。
[解答]
另外的解法，可以先觀察矩陣A
<key>\(A^{2}=5I_{2} \)
詳解請參考圖檔

想請教填充6的圓圈數的意思是指哪一種

(1)設有5人，1人1圈，2人1圈，最後2人1圈

(2)如上，但要加起來，故等於3圈