瑋岳老師 謝謝您熱心的解答!!

第8題我跟老師得到一樣的結果.....不知為何最後答案會是一個數字@@

第6題曾經看過類似題型是
r_n收斂  令原式為 X^2=5X/2 - X  得X=2與1/2

令r_n= a(2)^n+b(1/2)^n  很明顯當n趨近無限大時r_n不收斂,因此,a必為0

則r_n=b(1/2)^n  r_1=2003代入可得b=4006  即可求得r_2

不知道這樣想有沒有不完備

請教一下  填充11、12、14 證明第二題

若是之前有考過，也麻煩一下，謝謝。

填充第 11 題：設袋中有 \(4\) 個紅球， \(6\) 個黑球，今自袋中隨機一次取一個球出來，共取 \(3\) 次，取法分別為 (i) 取後放回， (ii) 取後不放回；兩種情形， (i) 及 (ii) ，分別取到紅球個數的期望值為 \(a\) 及 \(b\) ，求 \(a + b =\) ______________.


解答：
\(\displaystyle a=b=3\cdot\frac{4}{4+6}=\frac{6}{5}\)

或是也可以寫

\(\displaystyle a=3\cdot C^3_3\left(\frac{4}{10}\right)^3+2\cdot C^3_2\left(\frac{4}{10}\right)^2\left(\frac{6}{10}\right)+1\cdot C^3_1\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{6}{10}\right)^2+0\cdot C^3_0\left(\frac{6}{10}\right)^3=\frac{6}{5}\)

\(\displaystyle b=3\cdot\frac{C^3_3 4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8}+2\cdot\frac{C^3_2 4\cdot3\cdot6}{10\cdot9\cdot8}+1\cdot\frac{C^3_1 4\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}+0\cdot\frac{C^3_0 6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{6}{5}\)



\(\displaystyle \Rightarrow a+b=\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=\frac{12}{5}\)

填充第 12 題：設 \(x,y,z\) 均為實數，且滿足 \(x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)\)，求 \(2x-4y+6z+38\) 的最大值及最小值之和為_________________.

解答：

\(x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)\)

\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14\)

由柯西不等式，可得

\(\left((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2+3^2\right)\geq \left((x+1)-2(y-2)+3(z+3)\right)^2\)

\(\Leftrightarrow 14^2\geq \left(x-2y+3z+14\right)^2\)

\(\Leftrightarrow -14\leq x-2y+3z+14\leq14\)

\(\Leftrightarrow -28\leq x-2y+3z\leq0\)

\(\Leftrightarrow -56\leq 2x-4y+6z\leq0\)

\(\Leftrightarrow -18\leq 2x-4y+6z+38\leq38\)

得 \(2x-4y+6z+38\) 的最大值與最小值分別為 \(38\) 與 \(-18\)

所求＝\(38+(-18)=20\)

填充第 14 題：設 \(a, b\) 為二正整數，已知它們的最小公倍數為 \(2^6\times3^2\times11^2\times13\)，則這樣的正整數對 \((a, b)\) 共有多少組?_____________.

解答：

先來討論一下 \(a\) 與 \(b\) 當中 \(2\) 這個質因數分配得情況好了～

因為最小公倍數有恰含有 \(2^6\)，

所以 \(a\) 與 \(b\) 至少有一個質因數分解之後恰含有 \(2^6\)

　　另一個寫成標準分解式之後可能有 \(2^0,2^1,2^2,\cdots,2^6\)

因此，\(a\) 與 \(b\) 當中 \(2\) 的因數分配情況可能有 \(2\cdot7-1\) 種。

（扣掉的那個是重複計算的，也就是 \(a\) 與 \(b\) 剛好都恰含有 \(2^6\) 的因數～被重複計算的次數）



其它同理，

因此，可得所求為 \((2\cdot7-1)(2\cdot3-1)(2\cdot3-1)(2\cdot2-1)=975\) 種。

想請教填充第13題,謝謝

填充第 13 題：

先來研究一下規律好了～

想像有一排燈按照 \(a_na_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1\) 排列～

對照到剛剛那串排列順序～有出現 \(a_k\) 則 \(a_k\) 位置亮燈（寫成 \(1\)），

沒出現 \(a_k\) 則 \(a_k\) 位置不亮燈（寫成 \(0\)），

第一個位置對應到 → \(0000000\cdots00000\)

第二個位置對應到 → \(0000000\cdots00001\)

第三個位置對應到 → \(0000000\cdots00010\)

第四個位置對應到 → \(0000000\cdots00011\)

第五個位置對應到 → \(0000000\cdots00100\)

第六個位置對應到 → \(0000000\cdots00101\)

第七個位置對應到 → \(0000000\cdots00110\)

第八個位置對應到 → \(0000000\cdots00111\)

　　　　　　　　　　 \(\cdots\cdots\cdots\)

看出來了嗎？ 第 \(k\) 個位置對應到的就是 \(k-1\) 的二進位數值

因為 \(155=128+16+8+2+1=2^7+2^4+2^3+2^1+2^0\)

所以要亮燈的分別是 \(a_8, a_5, a_4, a_2, a_1\)

因此，排在第 \(156\) 位置的是 \(a_1a_2a_4a_5a_8.\)

0 [a1] [ a2  a12]  [a3  a13  a23  a123]  [a4  a14  a24  a34  a134 a234  a1234]  [a5  a15  a25....] ....
                                                                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以4為例, 每個都會有4 , 前面就1,2,3亂取  共2^3=8種  依序為:沒取,1 ,2,3 ,12,13,23,123
若依此規律  似乎也滿足題意  但答案就@#$%

其實昨天我看到這題的想法也跟你差不多，不過我是解讀成~~

\(I\) 當作是乘法單位元素，

然後每一群的元素就是把前面的每個元素從右邊乘上新增加的元素

I
^-------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a1，也就是增加 a1

I, [a1]
^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a2，也就是增加 a2,a12

I, [a1], [a2, a12]
^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a3，也就是增加 a3, a13, a23, a123

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a4，也就是增加 a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123], [a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234], .........

不過後來想想，上面這個規律與二進位是相同的，所以就用二進位來處理比較方便。

不過如果每群新增加的元素排列的規律，如 tuhunger 老師所提的，或許也有可能～

畢竟題目是用＂以此類推＂四個字，每個人找到的規律的確有可能不同，

而數列，除非題目有詳細說明規律，不然若純以條列的方式，的確下一個元素是誰都可以。

：）