計算第 5 題：

365711=5a+7b+c11

36=a711+b511+c57


1a2(mod5)a3(mod5)a=3 或 a=−2

1b6(mod7)b6(mod7)b=6 或 b=−1

3c2(mod11)c7(mod11)c=7 或 c=−4

因此僅有 222=8 種情況是有可能得，

再帶入 365711=5a+7b+c11 檢查看這八種中有多少種會成立，

可得正確的答案。

計算5:
如果是用bugmens的想法來做的話
36=77a+55b+35c-------(*)
a=-4, 55b+35c=344 ,(55,35)不整除344. 所以b,c沒有整數解
a=-3, 55b+35c=267 ,(55,35)不整除267. 所以b,c沒有整數解
a=-2, 55b+35c=140 ,(55,35)整除140. 所以b,c有整數解 =>再找解
a=-1, 55b+35c=113 ,(55,35)不整除113. 所以b,c沒有整數解
a=0,  55b+35c=36 ,(55,35)不整除36. 所以b,c沒有整數解
a=1, 55b+35c=-41 ,(55,35)不整除-41. 所以b,c沒有整數解
a=2, 55b+35c=-118 ,(55,35)不整除-118. 所以b,c沒有整數解
a=3, 55b+35c=-195 ,(55,35)整除195. 所以b,c有整數解=>再找解
a=4, 55b+35c=-272 ,(55,35)不整除-272. 所以b,c沒有整數解


[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 10:55 PM 編輯 ]

計算第 5 題：

另解，

36=77a+5(11b+7c)

解出通解 a=−2+5t11b+7c=38−77t，其中 t 為整數，

因為 a5，所以 t=0 或 t=1

case i: 當 t=0 時，11b+7c=38，解出通解 b=−1+7mc=7−11m，其中 m 為整數，

　　　　因為 b7 且 c11，所以 m=0 或 m=1，可得 (abc)=(−2−17) 或 (−26−4)

case Ii: 當 t=1 時，11b+7c=−39，解出通解 b=−1+7mc=−4−11m，其中 m 為整數，

　　　　因為 b7 且 c11，所以 m=0，可得 (abc)=(3−1−4)





>>>>>>>>>另外，順便來寫一下雙自由變數的通解，如下<<<<<<<<<<<<<<<<

36=77a+5(11b+7c)

先寫出 (a11b+7c) 的特解 (−238)，再寫通解 a=−2+5t11b+7c=38−77t，其中 t 為整數，

再來考慮 11b+7c=38−77t，

先寫出 (bc) 的特解 (−17−11t)，再寫通解 b=−1+7mc=7−11t−11m，其中 m 為整數。

因此， (abc) 整數解的通解為 (abc)=(−2+5t−1+7m7−11t−11m)，其中 tm 為整數。

然後再依照本題的 a5b7c11，也可解得對應的 tm 之值。

週三，武陵高中也考了一題，不過問的非負整數...

題意經轉換後為：求最大之正整數 a 使得 5n+12m=a,  m  n 無非負整數解

不過時間緊湊，也沒時間細想它...有空再來做

填充八
因為x=0
假設xy=t
再由xy0
得到0t1

x+2y5x+4y=1+2t5+4t=2+31+2t

所以得到M=5m=3

請問一下填充5如何解,謝謝

[ 本帖最後由 brace 於 2012-5-28 06:39 AM 編輯 ]

填充第 5 題：

令 an 的公比為 a，bn 的公比為 b，則

解 11−a+11−b=3811−ab=54，可得 (ab)=(21−21) 或 \displaystyle(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})

因此，所求＝\displaystyle\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+2\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{2}\right)}+\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{64}{15}.

謝謝瑋岳老師,感謝您.^^

想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-5-28 12:11 PM 發表
想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？

我是這樣考慮，因為 BC>AC，在 BC 上取一點 D 使得 角DAC=角B
這樣的話三角形 ACD 與 三角形 BCA 相似， 令 AD=x, 則
4/6= x/AB = CD/4, 可解出 CD=8/3, AB=3x/2,
再因為 cos(A-B)=cos(角BAD)=2/3, BD=6-(8/3)=10/3, AD=x, AB=3x/2
可用餘弦定理解出x, 這樣邊長c就出來了。