第14題
對於任意正整數n，令a = 1,2,3,...,(n - 1)(其餘大於n的數只要餘數同a的重坐後順序是跟a一樣的)
而無論n為何，(a,n) = 1，否則座位會重複
設任意兩數學家原本的座號為x,y，
訂此兩人間的人數為|x - y|(順時針方向)
|x - y| = 1,2,3,...,(n - 1)
而重坐後的兩人間的人數則為a|x - y| - mn(其中m為使0 < a|x - y| - mn < n的最大整數)
依照題意可知
重坐後需滿足
(1) \( a|x - y| - mn \ne |x - y| \Rightarrow (a - 1)|x - y| \ne mn \)
(2) \( a|x - y| - mn \ne n - |x - y| \Rightarrow (a + 1)|x - y| \ne mn \)(逆時針方向)
若n為偶數，則∵(a,n) = 1，∴a必為奇數
故(a - 1)必為偶數，令(a - 1) = 2t
設n=2k，則k必為1,2,…,(n-1)其中一個數
故當|x - y| = k時，(a - 1)|x - y| = 2kt = tn不符合(1)之條件，
故所有偶數皆不合
若n為奇數，則a = 2時，
(a - 1)|x - y|
= |x - y| = 1,2,3,...,(n - 1)
此時無論m為何，\( (a - 1)|x - y| \ne mn \)
即所有奇數皆滿足(1)
若3|n，令n=3p，同理p必為1,2,…,(n-1)其中一個數
∵(a,n) = 1，∴(a - 1)與(a + 1)必有一個為3的倍數，設為3q
當|x - y| = p時，3q|x - y| = 3pq = qn又與(1)(2)其中之一不合
故n必不為3的倍數
其餘的奇數只要不是3的倍數，在a = 2時皆可以滿足(1)(2)的條件
1<n<1000中為奇數且不為3的倍數者共有499-167=332個
[ 本帖最後由 sgod 於 2012-5-18 09:00 AM 編輯 ]
