請問填充第10與13怎麼做

填充第十用遞迴怎麼看規律

13.在正△內任取一點，向三邊做垂直線段，則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?

答 : 41

令正△ABC內一點 P 至 AB 的距離為 hc ，至 BC 的距離為 ha，至 CA 的距離為 hb

則  hahbhc  中任兩段的長度和必須大於第三段的長度

不妨先假設 ha 最大，而且 hahb+hc

考慮其極端狀況，以描述 P 點的可行區域的邊界，亦即 ha=hb+hc 的情況

因為△ABC是正三角形(三邊長相等)，所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半

而得到 P 落在 AB 與 AC 的中點連線

由對稱性，可知 P 落在△ABC三邊的中點連線之中，其面積佔△ABC的 41

所以機率為 41

原本公式是n個相異平面,可以隔出1+n+(n-1)n(n+1)/6個平面
其中1 = C(n , 0)
        n = C(n , 1)
        (n-1)n(n+1)/6 = C(n+1 , 3) = C(n , 2) + C(n , 3)

而n個相異直線分割平面也等於 : C(n , 0) + C(n , 1)+ C(n , 2)

10.  空間中10個相異平面，最多能將空間分割成幾個區域 ?

答 : 176

採取遞迴想法時，可依序由一維二維三維來看這個問題 :

一維 : n 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ?    以下用 an 表示

則有 a1=2  a2=3a3=4an=an−1+1

而得到 an=n+1n=123


二維 : n 條直線最多可以將一平面分成幾個區域?    以下用 bn 表示

則有 b1=2  b2=4  b3=b2+a2=7  b4=b3+a3  bn=bn−1+an−1

因為每多1條線就可以與前面的  n−1 條線最多交於 n−1 點

而這 n−1 點可以將這條新加上去的直線最多切成 an−1 段，因此多了 an−1 個區域

最後由遞迴關係得到 bn=2n(n+1)+1n=123


三維 : n 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)?    以下用 cn 表示

則有 c1=2  c2=4  c3=c2+b2=8  c4=c3+b3  cn=cn−1+bn−1

因為每多1個平面就可以與前面的  n−1 個平面最多交於 n−1 條線

而這 n−1 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 bn−1 個區域，因此多了 bn−1 個區塊

最後由遞迴關係得到 cn=6n(n2+5)+1n=123


所求即為 c10=176



至於速算法可以畫圖一一對應說明!  (但感覺用遞迴比較嚴謹)

填充1的題型似乎很常見
但是小弟還是想不透
懇請板上高手賜教
感謝

想請教填充1,6,7及計算1
感謝

填充第 1 題：
設xyzN且xy+yz+zx=xyz，則數對(xyz)之解有　　　組。
[解答]

　　不失一般性，可先假設 xyz，然後搭配 x1+y1+z1=1，

　　先由 1=x1+y1+z1z1+z1+z1=z3

　　　　 \Rightarrow z\leq3

　　條列 z=1,2, 或 3　之 \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y} 之值，然後找出所有可能的解。

填充第 7 題：
\Delta ABC中，\overline{CD}交\overline{BE}於F，已知\Delta BDF面積為10，\Delta BCF面積為20，\Delta CEF面積為16，則四邊形區域ADFE之面積為　　　。
[解答]
令所求面積為 x，

則由孟氏定理，可得

\displaystyle\frac{BD}{DA}\cdot\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EF}{FB}=1

\displaystyle\Rightarrow\frac{10+20}{x+16}\cdot\frac{10+20+x+16}{20+16}\cdot\frac{16}{20}=1

\Rightarrow x=44.

109.6.16補充
設D、E分別在\Delta ABC的\overline{AC}和\overline{AB}上，\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1、\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}，若\Delta ABC的面積為40，則四邊形AEFD的面積為　　　。
(109建功高中國中部，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

114.3.20補充
如圖，在\Delta ABC中，\Delta BEF、\Delta BCF、\Delta CDF的面積分別為10、20、15，試求四邊形AEFD的面積為　　　。
(114嘉科實中　國中部，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3940&page=1#pid26821)

填充第 6 題：
求\displaystyle sin\frac{4\pi}{11}\cdot sin\frac{8\pi}{11}\cdot sin\frac{12\pi}{11}\cdot sin\frac{16\pi}{11}\cdot sin\frac{20\pi}{11}=　　　。

所求＝\displaystyle-\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}

再利用 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543 這裡＂註＂的第一項，就可以了！

感謝weiye老師指導