第 10 題：
若\(f(x)=x^3-3x^2-9x+k\)，\(k\in \mathbb{R}\)，且\(f(x)=0\)有相異2負根及1正根，則\(k\)的範圍為　　　。
[解答]
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+k\)

\(\Rightarrow f'(x)=3x^2-6x-9\)

解 \(f'(x)=0, \) 可得 \(x=-1\) 或 \(3\)



因為 \(f(x)=0\) 有三相異實根，所以 \(f(-1)>0\) 且 \(f(3)<0\)



且因為題目說 \(f(x)=0\) 有兩負根一正根，

所以 \(f(0)<0\)



故，由 \(f(-1)>0,f(3)<0, f(0)<0\)

可解得 \(-5<k<0\)

謝謝瑋岳老師~^^

第八題仿此法解不出來?

請教版上前輩
填充
第1題,除硬做外還有甚麼方法
第2題,兩式平方相加,得cos(x-y),如何求sin(x+y)?
還有第6與7題,不知從何做起

謝謝

填充第 1 題
\(\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^4-3\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^2-\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)+7=\)　　　。
[解答]
令 \(f(x)=x^4-3x^3+x^2-x+7\)

先找出「讓 \(\displaystyle \frac{1+\sqrt{13}}{2}\) 帶入之後會變成零」的最低次數有理係數多項式

　　\(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow 2x-1=\sqrt{13}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow (2x-1)^2=13\Rightarrow x^2-x-3=0\)

再來利用綜合除法，

　　把 \(f(x)\) 寫成 「\(\displaystyle (x^2-x-3)\cdot \mbox{商式}+\mbox{餘式}\)」

這樣要算 \(\displaystyle f(\frac{1+\sqrt{13}}{2})\) 就會比較好算了。

填充第 2 題
設\(\displaystyle cos\alpha+cos\beta=\frac{1}{3},sin\alpha+sin\beta=\frac{1}{2}\)，則\(sin(\alpha+\beta)=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\tan\frac{\alpha-\beta}{2}\)

再利用 \(\displaystyle\sin(\alpha+\beta)=\frac{2\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}\)

填充第 6 題
若實係數方程式\(x^4-6x^3+14x^2-3ax+a=0\)恰有2實根，且此2實根之和為3，則\(a=\)　　　。
[解答]
設 \(x^4-6x^3+14x^2-3ax+a=(x^2-3x+p)(x^2-3x+q)\)

將左式展開之後，比較 \(x\) 的各次方項係數，可得

\(p+q+9=14, -3p-3q=-3a, pq=a\)

故，\(a+9=14\Rightarrow a=5\)

填充第 7 題
設\(x,y\in \mathbb{R}\)，且\(5x^2-6xy+5y^2=32\)，若\(x^2+y^2\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(M+m=\)　　　。
[解答]
先將 \(5x^2-6xy+5y^2=32\) 利用旋轉消去 \(xy\) 項，


（　中間步驟～～ \(a+c=10,a-c=-6\Rightarrow a=2,c=8\)

　　轉軸不影響常數項，所以旋轉後方程式為 \(2x^2+8y^2=32\)　）


可得橢圓方程式 \(x'^2+4y'^2=16\)

而所求 \(x^2+y^2=k\) 經旋轉仍然為圓，

所以，\(k\) 的最大值\(M=16\), 最小值\(m=4\)

謝謝瑋岳老師
豁然開朗

不好意思
我想要請教填充第13題
謝謝！