第二大題2.3~感謝

計算證明題第 2 題：

令 f(x)=2x3−3(k+1)x2+6kx−2k，則

f(x)=6x2−6(k+1)+6k=6(x−k)(x−1)

f(x)=0 之兩根為 x=k 或 x=1

因為 f(x)=0 有三相異實根，所以 f(k)f(1)0

−(k−2)(k−1)2k0

k2 或 k0



計算證明題第 3 題：

因為 X=Y=0，所以   nk=1xi=nk=1yi=0 

且因為 x=y=1，所以   nk=1xi2=nk=1yi2=n 

令 f(x)=a+bx

則

殘差平方和＝nk=1yi−f(xi)2 

　　　　　=nk=1yi−a−bxi2 

　　　　　=nk=1yi2+a2+b2xi2−2ayi+2abxi−2bxiyi 

　　　　　=nk=1yi2+na2+b2nk=1xi2−2ank=1yi+2abnk=1xi−2bnk=1xiyi 

　　　　　=n+na2+nb2−2bnk=1xiyi 

　　　　　=n+na2+nb−nnk=1xiyi2−nnk=1xiyi2 

　　　　　n−nnk=1xiyi2 

當殘差平方和有最小值時，a=0 且 b=nnk=1xiyi 

因為 (xiyi)i=12n 為已標準化數據，因此 b=nnk=1xiyi=r 

亦即當 f(x)=rx 時，殘差平方和為最小，

可得 Y 對 X 的迴歸直線為 y=rx

可否幫解答填充2.4

填充第 2 題：

令 k=x2+x+1x2−x+1，

則 (k−1)x2+(k+1)x+(k−1)=0

若 k=1，則 x=0\Rightarrow t=0

若 k\neq1，則

因為 x\in\mathbb{R}，所以 (k+1)^2-4(k-1)(k-1)\geq0

\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{3}\leq k\leq 3

\displaystyle \Rightarrow \log_{\frac{1}{9}} 3\leq\log_{\frac{1}{9}} k\leq \log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{3}

\displaystyle \Rightarrow-\frac{1}{2}\leq \log_{\frac{1}{9}} t\leq\frac{1}{2}



當 \displaystyle \log_{\frac{1}{9}} t=\frac{1}{2} 時，\displaystyle k=\frac{1}{3}\Rightarrow x=1

當 \displaystyle \log_{\frac{1}{9}} t=\frac{1}{2} 時，k=3\Rightarrow x=-1

所以，\displaystyle M=\frac{1}{2}, m=-\frac{1}{2}

填充第 4 題：

設 E_1 與 E_2 的銳夾角為 \theta，

則 \displaystyle \cos\theta=\left|\frac{\left(1,3,-5\right)\cdot\left(2,-1,4\right)}{\sqrt{1^2+3^2+\left(-5\right)^2}\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+4^2}}\right|=\frac{\sqrt{15}}{5}

所求＝\displaystyle \cos\theta\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot2^2\right)=\frac{3\sqrt{5}}{5}