請教一下 　大家計算4跟計算６算出的答案是？

填充第 5 題

令 \(\angle BAD=\theta\)，則 \(\triangle DAC =2\theta\)

由 \(\triangle BAD+\triangle DAC=\triangle BAC\)，

可得 \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 2 \cdot\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6\cdot\sin 2\theta=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \sin 3\theta\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 3\sin\theta+12\sin\theta\cos\theta=9\left(3\sin\theta-4\sin^3\theta\right)\)

顯然 \(\sin\theta\) 不為零，

所以 \(\displaystyle 3+12\cos\theta=9\left(3-4\left(1-\cos^2\theta\right)\right)\)

解 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式，可得 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}\)

其中，因為 \(\displaystyle \theta+2\theta<180^\circ\Rightarrow \theta\) 為銳角，

所以 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\)

在 \(\triangle BAD\) 中，由餘弦定理，可得

　　\(\displaystyle \overline{BD}^2=3^2+2^2-2\cdot2\cdot3\cdot\frac{1+\sqrt{13}}{6}=11-2\sqrt{13}\)

　　\(\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{11-2\sqrt{13}}.\)

填充第一題似乎很常見

可否冒昧請教第一題的解題方向

感謝

填充第 1 題

因為 \(I\) 為內心，

所以，向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{b}{a+b+c}\vec{AB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{AC}=\frac{6}{18}\vec{AB}+\frac{5}{18}\vec{AC}\)

令向量 \(\displaystyle \vec{AP}=m\vec{AB}, \vec{AQ}=n\vec{AC}\)

則 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{6}{18}\cdot\frac{1}{m} \vec{AP}+\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{n}\vec{AQ}\)

因為 \(I,P,Q\) 共線，所以 \(\displaystyle \frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}=1\)

依題意，即要求 \(mn\) 之最小值，

由算幾不等式，可得

　　\(\displaystyle \frac{\frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3m}\cdot\frac{1}{18n}}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2\geq\frac{5}{54mn}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow mn\geq\frac{10}{27}.\)

不好意思有沒有老師能分享一下計算題部分
第二題我是將其座標化、第四題我算出來是9/25
但是都不確定對不對所以想要請問一下老師們。

順便請問一下老師們第三、第六題的方向。感謝

計算第 2 題：詳見 https://math.pro/db/thread-457-1-1.html

計算第 3 題：詳見 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

想請問各位前輩填充第二題,

我用判別式算,可是怎麼算都是 -32/21 與解答不同

不知是不是哪個細節沒考慮到?   感謝大家

直接用判別式可能會忽略掉的地方是～忘掉確認是否有滿足條件 \(-1\leq \sin x\leq 1\)。



填充第 2 題：

令 \(t=\sin x\)，則 \(-1\leq t\leq1,\)

\(\displaystyle y=\frac{t^2+t+1}{\left(1-t^2\right)-t-3}=-\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2}=-1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\)

因為  \(-1\leq t\leq1\)，

所以 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\leq t+\frac{1}{2}\leq\frac{3}{2}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow 0\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2\leq\frac{9}{4}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{7}{4}\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\leq4\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{4}{7}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{-3}{4}\leq -1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{-3}{7}\)

故，\(\displaystyle M=\frac{-3}{7}, m=\frac{-3}{4}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2M+m=\frac{-45}{28}.\)

請問各位前輩, 計算第四題.
我的想法是, 每局之後的情況只有 1. A(3,0) B(0,2)      2. A(2, 1), B(1, 1)         3. A(1, 2) B(2, 0)
鈍角三角形指的是第2種
而其機率行距陣為\( \left|\ \matrix{ \frac{1}{3}  & \frac{1}{9} & 0 \cr \frac{2}{3} &  \frac{2}{3} & \frac{4}{9} \cr 0 & \frac{2}{9} & \frac{5}{9} \cr    }\right|\ \)
但接下來找不出\( i \)局後的通式, 不知道那裏有錯, 請不吝指教             謝謝

請問一下 這題想法是怎麼切入 要化這個圖的步驟是 還有為什麼所述區域內的點會大於60度
謝謝!