題目和答案如附件

填充題
2.空間中一四面體的四頂點分別為A(001)，B(240)，C(000)，D(420)，平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的31，則E的方程式為？

申覆結果此題送分

空間中一四面體的四個頂點分別為A(001)，B(240)，C(000)，D(420)，平面E通過A與BD中點且與BC有交點。若平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的31，則E的方程式為？
(98高中數學能力競賽　台中區複試試題)
https://math.pro/db/thread-911-1-3.html

1.平面上，設A(04)，B(09)，P在正向x軸上移動，設∠APB=，則tan之最大值為
(A)65　(B)1　(C)512　(D)57。

參考右圖在直角坐標的y軸上有兩點A(0a)，B(0b)，ab0有一點C在x軸的正向上，∠ACB=，則當C點坐標為　　時，tan有最大值　　
(94暨大附中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13656　連結已失效)

小安最近趕流行到歷史博物館參觀田園之美畫展，其中有一幅巨大壁畫高9公尺，其下端離地面4.5公尺，小安眼睛距地面1.5公尺，則他應站在離牆x公尺處欣賞此畫作，可得最大視角，求此x值與tan值大小？請你為附庸風雅的小安解出最佳觀賞位置吧!
(97大安高工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771　連結已失效)

已知座標平面上點A(03)和B(04)，試求x軸上的一點C(x0)(x0)使得ACB 最大。
(108桃園高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3144&page=3#pid20079)

113.5.7補充
設二次函數y=x2−6x+5的圖形交x軸於A、B兩點，P是直線x+y=−4上的動點。當APB 有最大值時，ABP的外心坐標為　　　。
(113南港高工，連結有解答https://math.pro/db/thread-3863-1-1.html)

9.若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4)，且此橢圓與直線x+y+1=0相切，則此橢圓的長軸長為
(A)26 　(B)23 　(C)22 　(D)17 

我的教甄筆記　橢圓曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807


二計算及證明題：
3.設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於21。

1.這個是最大視角問題
要有最大視角  會有圓通過A,B
並且跟x軸相切
超喜歡這一題  因為是我指導老師某一本講義封面  XD

2. 考sinx的二倍角公式
先把兩個函數角度調成一樣  就可以套二倍角公式

3. 不會  XD

4. 提出 1sinx  剩下就是調角度了
或是從答案反推  XD

5. 不曉得遞迴可不可以解
我是列出x+2y=12的非負整數解
再分別討論不連續2步的情況

6. n−3n3−3n2+5n−13,\displaystyle{n-3|n-3}  好歡樂

7. 題目已經偷偷告訴你  u,v,w所圍成體積=6了  後面的體積會= 行列式值*6

8. 硬算 P,Q,R 再帶回去硬解a,b,c 硬梆梆  或許有很快的作法?

9. 快一點的 把一個焦點作對稱  然後直接連線  神速
慢一點的  假設橢元參數式  然後帶回直線  硬解長軸短軸
好吧  我這題用慢的那一個方法  腦袋有點生鏽了

10. 據說是\displaystyle{\frac{1}{2}ln(1+x^2)}的積分

填充1.  就找公比去算吧
填充2.  感覺有無窮多組解  等送分  Ya~~

計算1.  就求反函數阿
計算2.  數學歸納法硬作很快
計算3.  鴿籠原理
計算4.  就積分阿  套用微積分基本定理
計算5.  翻課本

引用:

原帖由 iamcfg 於 2010-6-26 03:38 PM 發表

3. 不會  XD

我用猜的也是猜錯
PTT有人解出來了
前往參考看看吧

補一下
第3題
設有一球，其表面積以每秒1平方公分的變化率增加，則在半徑為3公分時，其體積的瞬間增加率為每秒多少立方公分？
(A)\displaystyle \frac{1}{2}　(B)\displaystyle \frac{3}{2}　(C)2　(D)\displaystyle \frac{8}{3}
[解答]
\displaystyle  A=4\pi r^2，\Rightarrow dA=8\pi rdr， \frac{dA}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}

\displaystyle  \frac{dr}{dt}=\frac{1}{8\pi r}

\displaystyle  \frac{dV}{dt}=A\times\frac{dr}{dt}=\frac{36\pi}{24\pi}=\frac{3}{2}


第5題
小明上樓梯時可能一步上一階或一步上兩階，但不會連續兩步都上兩階。今小明走一個12階的樓梯，則上樓梯的方式共有
(A)88　(B)89　(C)90　(D)91
[解答]
98高中競賽嘉義區(二)第六題
我是用遞迴
走上n階分成
先走一階，有 a_{n-1} 種
先走兩階，必然要再走一階，所以有 a_{n-3} 種
也就是 a_n=a_{n-1}+a_{n-3}
就1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,60,88


第10題
\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}=
(A)ln(\sqrt{2}+1)　(B)ln2　(C)\displaystyle \frac{\pi}{4}　(D)\displaystyle \frac{1}{2}ln2
[解答]
\displaystyle \frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\times \frac{\frac{k}{n}}{1+(\frac{k}{n})^2}


填充二
空間中一四面體的四頂點分別為A(0,0,1)，B(2,4,0)，C(0,0,0)，D(4,2,0)，平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\displaystyle \frac{1}{3}，則E的方程式　　　。

應該少了"過A點"這個條件。

歐歐  遞迴漂亮  沒想到這點
第10題  沒發現他是黎曼和  對微積分真的不夠熟阿
第3題也是  我微積分太弱了
老王是高手

計算第二題
設\alpha與\beta是相異兩實數，並且\alpha>\beta>0。定義數列\langle\;a_n\rangle\;如下：
a_1=\alpha+\beta；當n\ge 2時，\displaystyle a_n=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{a_{n-1}}
(1)試證：\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}
(2)求\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=？
[解答]
說真的，我們會解的遞迴數列太少，而解法又很不相同；這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317

令\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n}

\displaystyle \frac{p_n}{q_n}=\frac{(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1}}{p_{n-1}}

\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta q_{n-1}

\displaystyle q_n=p_{n-1}
                              
由第二式知道\displaystyle q_{n-1}=p_{n-2}

代入第一式得到\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta p_{n-2}

於是解這個二階遞迴數列得到\displaystyle p_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n

代入初始條件\displaystyle p_1=\alpha +\beta ；p_2=\alpha^2+\alpha \beta+\beta^2

解得\displaystyle c_1=\frac{\alpha}{\alpha -\beta} ； c_2=\frac{-\beta}{\alpha -\beta}

結論就出現了

請教計算第2的(2)如何算.及
計算第3能否寫一下要怎麼證.
計算第4.答案是  根號 [(t^2+3)/pi]  嗎?
謝謝~

計算第 2 題的(2)

因為 \displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}，注意其中 \displaystyle0<\frac{\beta}{\alpha}<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0.

所以 \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha.

註：感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯！已修正。^___^


計算第 3 題
設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於\displaystyle \frac{1}{2}。
[解答]
取三角形三邊中點，並將之連接，

可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域，

則在大三角形內部任取五點時，必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內，

因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 \displaystyle\frac{1}{2}（即小三角形的邊長），

所以在大三角形內部任取的五點中，

至少有兩點的距離不超過 \displaystyle\frac{1}{2}。




計算第 4 題
已知對於所有的t\ge 0，曲線y=f(x)與x軸，y軸及直線x=t所圍成區域繞x軸旋轉所得之立體體積為t^3+3t，試求(x)。
[解答]
\displaystyle \int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx=t^3+3t


\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx\right)=\frac{d}{dt}\left(t^3+3t\right)


\displaystyle\Rightarrow\pi\left(f(t)\right)^2=3t^2+3


\displaystyle\Rightarrow f(t)=\pm\sqrt{\frac{3t^2+3}{\pi}}


\displaystyle\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{\frac{3x^2+3}{\pi}}.

引用:

原帖由 老王 於 2010-6-28 03:09 PM 發表
計算第二題
說真的，我們會解的遞迴數列太少，而解法又很不相同；這跟解微分方程有些類似。
高中競賽教程P317

令\displaystyle a_n=\frac{p_n}{q_n}

我想請問王大的這篇
從"於是解這個二階遞迴數列得到..."就不知如何往下導出,希望那位大大能幫忙?

另外,還有選擇第8題,謝謝