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原帖由 jisam 於 2009-9-9 03:13 PM 發表 
五位同學的身高為171,175,176,a,b,問另兩位同學身高為多少時，標準差最小？
請問這該如何計算 謝謝
因為平移不影響標準差，
所以我先把所有數字都減 \(174\) 好了，
數字小一點比較好計算，
減完之後各數字變為 \(-3, 1, 2, a-174, b-174\)，
令 \(x=a-174, y=b-174\)，則
這些數據的變異數 \(\displaystyle \sigma^2=\frac{\left(-3\right)^2+1^2+2^2+x^2+y^2}{5}-\left(\frac{\left(-3\right)+1+2+x+y}{5}\right)^2\)
\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad =\frac{1}{25}\left(70+4x^2-2xy+4y^2\right)\)
\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad =\frac{1}{25}\left\{70+\left(2x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{15y^2}{4}\right\}\geq\frac{70}{25}.\)
所以，當 \(x=0\) 且 \(y=0\) 時，標準差有最小值，
亦即，當 \(a=174\) 且 \(b=174\) 時，標準差有最小值.
