98臺南縣永仁高中

4.
若為1的立方虛根之一，則(1−+2)(1−2+4)(1−4+8)(1−8+16)=？
(A)8　(B)10　(C)12　(D)14　(E)16
[解答]
(1−+2)(1−2+)(1−+2)(1−2+)
=[ (1−+2)(1−2+)] 2=[ (−2)(−22)] 2=16

16.
在等比數列an中，a1=1，a4=2−5 ，an+2=an+1+an，n1。則an的公比=？(A)21−5 　(B)21+5 　(C)21−3 　(D)21+3 　(E)32
[提示]
an+1an+2=1+anan+1， \displaystyle r=1+\frac{1}{r}
取負的r

40.
如右圖，三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為144，中圓的半徑為36，求最小圓的半徑為何？(A)4　(B)12　(C)16　(D)18。
[提示]
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{144}}+\frac{1}{\sqrt{36}}

2009.10.14補充
Two circles with radii a and b respectively touch each other externally. Let c be the radius of a circle that touches these two circles as well as a common tangent to the two circles. Prove that \displaystyle \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1597647

109.6.6補充
三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為100，中圓的半徑為25，求最小圓的半徑為何？(A)\displaystyle \frac{100}{9}　(B)\displaystyle \frac{10}{3}　(C)\displaystyle \frac{36}{5}　(D)\displaystyle \frac{18}{5}
(109全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3342-1-1.html)

44.
設z，c皆為複數，|z|=1， \overline{c} z≠1  ，z≠c，則 \displaystyle \Bigg\vert\ \frac{z-c}{1-\overline{c} z} \Bigg\vert\ 之值為？
(A)0　(B)1　(C)∞　(D)|c|　(E)以上皆非
[解答]
|z|=1， z \cdot \overline{z}=1
\displaystyle \frac{z-c}{1-\overline{c} z} \cdot \frac{\overline{z}-\overline{c}}{1-c \overline{z}}=\frac{z \cdot \overline{z}-z \cdot \overline{c}-c \cdot \overline{z}+c \cdot \overline{c}}{1-c \cdot \overline{z}-\overline{c} \cdot z+c \cdot \overline{c} \cdot z \cdot \overline{z}}=1

50.
設a,b,c均為整數，1≦a,b,c≦9，已知a,b,c成等差數列，且 0. \overline{a}+0. \overline{4b}=1.  \overline{2c} ，則序組(a,b,c)=
(A)(7,5,3)　(B)(7,6,5)　(C)(8,6,4)　(D)(8,7,6)　(E)(6,7,8)
[解答]
\displaystyle \frac{a}{9}+\frac{40+b}{99}=1+\frac{20+c}{99}
用c=2b-a來換得 12a-b=79 只有a=7符合

我想請問第42和46題,謝謝

第 42 題：

題目：P 為銳角 △ABC 的外心，令 x、y、z 表 P 至三邊 BC、CA、AB 的垂線長﹐求 x : y : z

(A) sin A: sin B : sinC (B) cos A: cos B : cosC (C) tan A: tan B : tanC (D) cot A: cot B : cotC

(E) sec A: sec B : secC﹒

解答：

設 R 為 \triangle ABC 的外接圓半徑，則

\displaystyle \triangle PBC=\frac{1}{2}xa=\frac{1}{2}R^2\sin 2A

\displaystyle \triangle PAC=\frac{1}{2}yb=\frac{1}{2}R^2\sin 2B

\displaystyle \triangle PAB=\frac{1}{2}zc=\frac{1}{2}R^2\sin 2C

故，\displaystyle x:y:z=\frac{\sin2A}{a}:\frac{\sin2B}{b}:\frac{\sin2C}{c}=\cos A:\cos B: \cos C.








第 46 題：

題目：設 a 為異於 1 的正整數，以 a 除 4510﹐3718﹐2970 之餘數相同，則 a 有幾個解？

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9﹒

解答：

4510=aq_1+r, 3718=aq_2+r, 2970=aq_3+r，

兩兩相減，可得 a\Big|gcd\left(4510-3718,3718-2970\right)\Rightarrow a\Big|44

由於 44=2^2\times11 的正因數個數有 3\times2=6 個，

扣掉 a=1 的情況，a 還剩下 5 種可能。