填充題,第 3 題
題目:
在直角坐標平面上,\(O\) 為原點,\(A(2,0),\, B(2,2)\),向量 \(\overrightarrow{BC}=\left( {\sqrt 2 \cos \alpha ,\sqrt 2 \sin \alpha } \right)\),
則 \(\overrightarrow{OC}\) 與 \(\overrightarrow{OA}\) 的夾角 \(\theta\) 範圍為?
解:
對任意的實數 \(\alpha\), \(C\) 點落在以 \(B(2,2)\) 為圓心,以 \(\sqrt{2}\) 為半徑的圓周上,
自原點往圓 \(C\) 點所在的軌跡(圓)作切線,
設 \(C_1, C_2\) 分別為兩切點,可得 \(\angle BOC_1 = \angle BOC_2 = 30^\circ\)
\(\displaystyle \Rightarrow \angle C_1OA = 45^\circ-30^\circ=15^\circ\) 且 \(\displaystyle \angle C_2OA = 45^\circ+30^\circ=75^\circ.\)
故,\(\overrightarrow{OC}\) 與 \(\overrightarrow{OA}\) 的夾角 \(\theta\) 範圍為 \(\displaystyle 15^\circ\leq\theta\leq75^\circ.\)