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三角函數的題目，兩題與三角形邊長有關的不等式的證明題

maddux0706

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1^# 大中小發表於 2009-1-11 23:04 只看該作者

三角函數的題目，兩題與三角形邊長有關的不等式的證明題

1. 設a,b,c分別為三角形ABC的邊長,且S表示其面積

試證:a^2+b^2+c^2 >= S*4根號3

2. 設a,b,c為正實數

試證:1/a(1+b) + 1/b(1+c) + 1/c(1+a) >= 3/1+abc

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2009-1-12 11:34 只看該作者

補上出處－教育部八十八學年度高級中學數學科能力競賽決賽獨立研究試題(三)

(1+abc)[1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)]+3

=a(1+b)1+abc+a+ab+b(1+c)1+abc+b+bc+c(1+a)1+abc+c+ca

=a(1+b)(1+a)+ab(1+c)+b(1+c)(1+b)+bc(1+a)+c(1+a)(1+c)+ac(1+b)

=1+aa(1+b)+1+bb(1+c)+1+bb(1+c)+1+cc(1+a)+1+cc(1+a)+1+aa(1+b)≧6

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-1 09:23 AM 編輯 ]

附件

88全國決賽獨立研究3.pdf (13.74 KB): 2009-3-1 09:20, 下載次數: 9990

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2009-1-12 18:40 只看該作者

在△ABC中，a^2+b^2+c^2≧4√3 * △
這個叫做Weitzenberk不等式,共有三種證明,已經有兩個學校考過了
97松山家商h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554　連結已失效
97麗山高中h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23646　連結已失效
[證法1]http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1231679767.A.DDE.html
作者: keith291 (keith) 看板: Math
標題: Re: 高中兩題證明題
時間: Sun Jan 11 21:16:06 2009

※ 引述《madduxwin (師出名門)》之銘言：
: 1. 設a,b,c分別為三角形ABC的邊長,且S表示其面積
: 試證:a^2+b^2+c^2 >= S*4根號3

提供一較不常見的證法:
改證以下之更強命題

a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

令a=x+y  b=y+z  c=z+x x,y,z>0 (此令法是由三角形內切圓圖形觀察可得)

則s=√(xyz(x+y+z)) (由海龍公式)

a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

<=> (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2≧4√(3xyz(x+y+z))+(x-z)^2+(y-x)^2+(z-y)^2

<=> 4(xy+yz+zx)≧4√(3xyz(x+y+z))

<=> xy+yz+zx≧√(3xyz(x+y+z))

<=> (xy+yz+zx)^2≧3xyz(x+y+z)

<=>(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2≧xyz(x+y+z)

又{(xy)^2+(yz)^2}/2≧xyz(y)
  {(yz)^2+(zx)^2}/2≧xyz(z)
  {(zx)^2+(xy)^2}/2≧xyz(x)
三式相加末式成立  故原式成立
又a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(4√3)s
原式得證  等號於x=y=z時  即a=b=c時成立

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.49.166
→ keith291:常見證法是證a^2+b^2+c^2-(4√3)s≧0                   01/11 21:21
→ keith291:用餘弦定理將a^2代換掉以及s=(bcsinA)/2 然後配方       01/11 21:22

[證法二]就如keith291的推文所說的
在高中數學競賽教程P161和高中數學101 P131都有證明
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834　連結已失效

[證法三]高中數學競賽教程P161還提供另一種利用正弦定理的證明