引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 08:04 PM 發表
(1)-pi/2<x<pi/2,f(x)=cosx+4/cosx之最小值為何是5?
令 t=cos(x),則 0<t≦1,且
y = f(x) = t + 4/t
⇒ (y-t)t=4
⇒ 圖形為一雙曲線且兩漸近線為 y=t 與 t=0,極值發生在 t=±2 的時候,
可是 t 有範圍限制 (0,1],所以看函數圖形可以發現在 t=1 的時候 y 有最小值,且 y 沒有最大值。
t=1 帶回,可得 f(x) 的最小值為 5.
引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 08:04 PM 發表
(2)-1<a<1,-1<b<1,-1<c<1,求證-1<ab+bc+ca<3
Part 1:
由柯西不等式,
(ab+bc+ca)^2≦(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)<3×3
⇒ -3<ab+bc+ca<3
另解,
因為 -1<a<1,-1<b<1,-1<c<1,所以 -1<ab<1,-1<bc<1,-1<ca<1,
⇒ -3<ab+bc+ca<3
Part 2:
(1) 若 a,b,c 中,有任一數為 0,則 ab+bc+ca>-1
(因為,不失一般性,可假設 a=0,則 ab+bc+ca = bc>-1 )
(2) 假設 a,b,c 三數皆非0,則
(i) 若三數皆為正,或三數皆為負,則 ab+bc+ca>0>-1
(ii) 若三數為兩正一負,不失一般性,假設 1>a>0,1>b>0,0>c>-1,則
ab+bc+ca=ab+c(b+a)>ab+(-1)(a+b)=(a-1)(b-1)-1>0-1=-1
(iii) 若三數為一正兩負,不失一般性,假設1>a>0,0>b>-1,0>c>-1,則
ab+bc+ca=a(b+c)+bc> 1×(b+c)+bc=(b+1)(c+1)-1>0-1=-1
故,由 Part 1&2,可得 -1<ab+bc+ca<3
Part 2 另解:
令 f(x)=(b+c)x+bc+1,則
f(1)=(b+1)(c+1)>0 且 f(-1)=(1-b)(1-c)>0
因為 f(x) 為線性函數,所以對任意 -1<a<1,皆滿足 f(a)>0
亦即 (b+c)a+bc+1>0,
亦即 ab+ac+bc>-1
再一個另解:
因為 (1+a)、(1+b)、(1+c)、(1-a)、(1-b)、(1-c) 都為正,
所以 (1+a)(1+b)(1+c)>0且(1-a)(1-b)(1-c)>0,
將兩者相加,即可得 1+ab+ac+bc>0,
亦即 ab+ac+bc>-1