\(n\)為自然數,空間中平面
\(x+y+z\le n\)
\(-x+y-z\le n\)
\(x-y-z\le n\)
\(-x-y+z\le n\)
內格子點數為\(a_n\),則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^3}=\)?

8/3 ?

引用:

原帖由 weiye 於 2008-5-5 12:22 PM 發表
8/3 ?

沒錯,請問你是怎麼算的呢?!
如何找出格子點?

我並沒有算出共有多少格子點，

只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)

上面哪個 Big-O 定義： http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

所以改用圖形體積去求，

畫出圖形發現是一個正四面體，

且正四面體當中，互相歪斜的兩個稜距離是 2n，

因此算出正四面體邊長為 (2√2)n，體積為 (8*n^3)/3，

所以，把體積除以 n^3，當 n 區近於無窮大時，其極限值為 8/3.








註： Big-O 是以前我修資料結構跟解析數論這兩門的時候老師提到的，

　　就是當 n 趨近於無窮大時，該函數的漸近行為，換句話說，就是

　　格子點的個數　跟　圖形所圍區域的體積的誤差值，至多可以用一個二次以下多項式函數表示。

接下來該怎麼做,無從著手,而
我得到的答案是格子點數有sigma[(n-k+1)(n+k-1)+(n-k)(n+k)],as k=1 to n,再加上2n^2+2n+1

引用:

原帖由 weiye 於 2008-5-5 01:48 PM 發表
我並沒有算出共有多少格子點，

只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)

...

請問老師　這是如何估計的　謝謝

補上出處
高中數學101　第53單元　空間平面方程　p188
1998日本東京大學

引用:

原帖由 jisam 於 2009-7-30 04:27 PM 發表
請問老師　這是如何估計的　謝謝

如上面回覆所言，用所圍區域的體積估計之。

不好意思 是我表達錯誤了
"只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)"
怎會知道要用這樣方式 為什麼不是
格子點的個數 = 所圍區域的體積*2 +O(n^2)"之類的

而剛剛好是   格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)
謝謝

對於長、寬、高分別是 \(a,b,c\) 的長方體（\(a,b,c\)是正整數），

其體積為 \(abc\)，

其格子點個數為 \((a+1)(b+1)(c+1)=abc+\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right).\)

設 \(a,b,c\) 為 \(n\) 的一次函數，

則 \(abc\) 為 \(n\) 的三次函數，且 \(\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right)=O(n^2).\)

因此，　格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2) .