一、填充題
1.
設\(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n\)為滿足以下條件的\(n\)項數列：
(1)對\(k=1,2,3,\dots,n\)，\(a_k\in\{-1,0,1,2\}\)；
(2)\(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=16\)；
(3)\(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2=50\)；
(4)\(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k^3=a_1^3+a_2^3+a_3^3+\dots+a_n^3=70\)；
試求\(\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|=|a_1|+|a_2|+|a_3|+\dots+|a_n|\)的值為
。
2.
設\(x\in\mathbb{R}\)且\(x\neq1\)，則\(\displaystyle f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}\)之範圍為
。
3.
設\(f\)為定義域為正整數的函數，已知\(f(115)=115\)，若對每一正整數\(n\)使得\(\displaystyle f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，則\(f(70)=\)
。
4.
設一圓周上有18個等分點，若取3個分點作三角形，則可作成
個銳角三角形。
5.
已知\(x,y\)都是自然數且\(y=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2007}\)，則數對\((x,y)=\)
。
6.
彰化火車站有3個出口，每個出口每次僅能允許一個人出站，現有一個10人的旅行團到達
彰化站，則出站的方式有
種。
7.
設有10個二維數據，其統計資料如下：\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} x_i=20,\sum_{i=1}^{10} y_i=300,\sum_{i=1}^{10} x_i^2=50\)。如果
歐利瑪隊長求\(y\)對\(x\)的迴歸直線方程式時，不慎將斜率公式誤植為\(\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{10}(x_i+\mu_x)(y_i+\mu_y)}{\sum_{i=1}^{10}(x_i+\mu_x)^2}=\frac{(x_1+\mu_x)(y_1+\mu_y)+(x_2+\mu_x)(y_2+\mu_y)+\ldots+(x_{10}+\mu_x)(y_{10}+\mu_y)}{(x_1+\mu_x)^2+(x_2+\mu_x)^2+\ldots+(x_{10}+\mu_x)^2}\)求得斜率為\(\displaystyle\frac{230}{17}\)，其其餘計算沒有錯誤，則正確的迴歸直線斜率應為
。
8.
如右圖，\(P\)為三角形\(\triangle ABC\)內部一點，已知\(\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=115\)，試求\(\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=\)
。
9.
已知\(x,y\)滿足方程式\((\log_3y)^2+(2^{x+1}+2^{1-x})\log_3y+(2^{2x+1}+2^{1-2x})=0\)，則數對\((x,y)=\)
。
10.
設\(m\)為實數，已知方程式\(2|x-1|+3|mx-5|=6\)恰有2實根，則\(m\)的範圍為
。
11.
計算\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}=\)
。
12.
設\(\displaystyle z_1=1+i\)，\(\displaystyle z_{n+1}=\frac{i}{2}z_n(n\in\mathbb{N})\)，\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n |\;z_{k+1}-z_k|\;\)；若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S\)且\(|S-S_n|<10^{-20}\)，則\(n\)的最小值為
。
13.
一遊戲規定為：自\(1,2,3,4,5,6,7,8,9\)中任取相異的四個數字排成一個四位數，若此四位數是99的倍數，則可獲得相同數目的獎金，求玩此遊戲1次的期望值\(=\)
。
14.
已知空間向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)滿足\(\vec{a}\times \vec{b}=(7,1,-3)\)，\(\vec{b}\times \vec{c}=(3,5,1)\)，\(\vec{c}\times \vec{a}=(-1,-7,5)\)，試求\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)所展成的平行六面體體積為
。
15.
設\(A=\left[\matrix{1&2\cr 4&3}\right]\)，求\(A^{115}=\)
。(當\(a^n\)中的正整數指數\(n\ge 10\)時，可以不用展開)
(我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)
16.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}}{\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}}=\)
。
17.
設函數\(f(z)=az^2+bz+c\)，其中\(a,b,c\)皆為複數。若對任意滿足\(|\;z|\;\le 1\)的複數\(z\)，都有\(|\;f(z)|\;\le 1\)，試求\(|\;bc|\;\)的最大值\(=\)
。
二、計算證明題
1.
已知\(\triangle ABC\)為銳角三角形，若\(\overline{AD}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CF}\)為分別為三邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上的高，試證：\(\triangle ABC\)的垂心\(H\)必為\(\triangle DEF\)的內心。
2.
已知\(x\in\mathbb{R}\)，證明方程式\(10^x+11^x+12^x=13^x+14^x\)恰有一個實數解並求此解。
