114蘭陽女中

4.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n^2}+\frac{n}{(n+2)^2}+\frac{n}{(n+4)^2}+\frac{n}{(n+6)^2}+\ldots+\frac{n}{(3n-2)^2}\right)\)的值為　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

5.
設一橢圓方程式為\(\Gamma\)：\(x^2+2y^2=2\)及一直線\(L\)：\(y=x+m\)。若橢圓上存在不同的兩點\(P\)、\(Q\)對稱於直線\(L\)，求\(m\)之範圍。
類似題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

試確定\(m\)的取值範圍，使橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上有不同的兩點關於直線\(y=4x+m\)對稱。
https://zhidao.baidu.com/question/240760917259311644.html

6.
空間中三點\(A(1,1,1),B(2,4,0),C(3,2,1)\)，在平面\(E\)：\(x+y+z=6\)上找一點\(P\)使得\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值，求\(P\)點坐標 。

7.
計算\(sin^2 37^{\circ}+sin^2 8^{\circ}+\sqrt{2}sin37^{\circ}sin8^{\circ}\)之值。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=2#pid5056

10.
已知\(x,y,z\)均為正實數且\( \cases{log(2000xy)=4+logx \cdot logy \cr log(2yz)=1+logy \cdot logz \cr log(zx)=logz \cdot logx}\)\(\matrix{\ldots(1)\cr \ldots(2)\cr \ldots(3)}\)，則\(x+y+z\)的值為　　　。
(2000AIME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_9)

三、計算證明題
2.
將一塊半徑為\(R\)的半圓形鋼板截成等腰梯型\(ABCD\)的形狀，他的下底\(\overline{AB}\)為半圓直徑，上底\(\overline{CD}\)的端點在圓周上，求：
(1)此梯形周長之最大值。(以\(R\)表示)
(2)此梯形面積之最小值。(以\(R\)表示)

請教第12題
只做出68/190

第 12 題：

將十顆球先按下列順序排成一列：

\(2, 2, 4, 4,\) \(5, 5,\) \(1, 1, 3, 3\)

再把五個 \(A\) 與五個 \(B\) 排成一列與之相對應，

在第1~4位置有放 \(A\) 且第 5~6 位置也有放 A 的條件下，

求第1~4位置有放 \(B\) 且第 5~6 位置也有放 B 的條件機率為

\(\displaystyle \frac{C^4_1 C^2_1 C^4_3+C^4_2 C^2_1 C^4_2+C^4_3 C^2_1 C^4_1}{C^4_1 C^2_1 C^4_3 +C^4_1 C^2_2 C^4_2+C^4_2 C^2_1 C^4_2 +C^4_3 C^2_1 C^4_1+C^4_2 C^2_2 C^4_1+C^4_4 C^2_1 C^4_0+C^4_3 C^2_2 C^4_0}\)

\(\displaystyle = \frac{32+72+32}{32+24+72+32+24+2+4}\)

\(\displaystyle = \frac{68}{95}\)

註：上面列式是考慮第一區（第1~4位置）、第二區（第5~6位置）、第三區（第7~10位置）有哪些是 \(A\) 的情況。

引用:

原帖由 weiye 於 2025-4-28 11:10 發表
第 12 題：

將十顆球先按下列順序排成一列：

\(2, 2, 4, 4,\)  \(5, 5,\) \(1, 1, 3, 3\)

再把五個 \(A\) 與五個 \(B\) 排成一列與之相對應，

在第1~4位置有放 \(A\) 且第 5~6 位置也有放 A 的條件下，

求第1~4位置有放 ...

懂了 好厲害的方法 謝謝!

設X與Y分別表示A箱點數為0與B箱點數為0的事件
n(X')=A箱沒有5或沒有偶數=C(8,5)+C(6,5)-0=62
n(X)=C(10,5)-62=190

n(X∩Y)=A與B各有1個5且各至少有1個偶數=C(2,1) ( C(8,4)-C(4,4)-C(4,4)+0 )=136

故P(Y|X)=136/190=68/95

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-28 14:32 編輯 ]

填充八

老師們好,能否請教第九題QQ,感謝各位老師

設\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}=A,\frac{\beta}{4}=B, \frac{\gamma}{5}=C,\frac{\zeta}{8}=D\)

有\(A+B+C+D=1\) 且 \(\displaystyle ABCD=\frac{1}{256}\)

因為\(A,B,C,D\in \mathbb{R}\)，所以\(A=B=C=D=\frac{1}{4}\)

回推即可得到\(\alpha+\beta+\gamma+\zeta=\displaystyle \frac{19}{4}\)

即\(b=-19\)

老師們好,能否請教第六題,謝謝各位老師