114景美女中

2.
已知\(\triangle ABC\)的三邊長為連續三個正整數，且最大角是最小角的2倍，則\(\triangle ABC\)的面積為　　　。
(我的教甄準備之路　邊長為正整數的三角形，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078)

3.
空間中，設\(\triangle ABC\)的三邊長\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=5\)、\(\overline{BC}=7\)，另有一點\(P\)滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\)，則錐體\(P-ABC\)的體積為　　　。

4.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n}}\right)=\)　　　。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

6.
數列\(\langle a_n \rangle\)滿足遞迴關係式\(\cases{\displaystyle a_1=1\cr a_{n+1}=\frac{n}{n+2}a_n，n是正整數}\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n=\)　　　。

請問填充6、填充12

6.寫前幾項易知由第3項開始ak為2/(k(k+1))=2(1/k-1/(k+1))
所求=1+1/3+2(1/3-1/101)=2-2/101=200/101

12.因OAD與OAB為正三角形,令D在BC的投影點為D',O為正方形DABD'中心，且高為sqrt2
定座標O(0,0,sqrt2)A(1,1,0),B(1,-1,0),C(-1,1,0),D(-3,-1,0)
做兩平面法向量夾角後，觀察圖形cos取負

謝謝cut6997老師 我試試看

想請教填充3、11、13題，謝謝！

第 13 題
請參考 https://math.pro/db/thread-2449-1-1.html

3.P至三點距離相同=>投影點為外心。
靠三角形面積=海龍公式=abc/4R，可求得外接圓半徑=>可由畢氏定理求高=>可求體積

11.互為反函數對稱y=x又是正三角形角平分線佔30度，故與y=log_a (x)的交點為
邊長*(cos15度,sin15度),帶入可求得a

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-4-17 22:09 編輯 ]

填14
所求=2[(1+1/2)*(1/2)/2 +(1/2)*(√3/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)²*7π/6]
=(3/4)+(√3/4)+7π/24

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-17 23:08 編輯 ]

謝謝鋼琴老師跟cut6997老師解答！感謝