114板橋高中

8.
將空間中的一直線\(L\)：\(\cases{x=z\cr y=0}\)繞\(z\)軸轉一圈形成圓錐面\(\Gamma\)。若在圓錐面\(\Gamma\)與平面\(E\)：\(3x+\sqrt{5}y+6z=66\)所圍成的區域內放置一顆球，求此球最大半徑。

在坐標空間中，\(xz\)平面上有一直線\(L\)：\(\sqrt{3}x-z-6=0\)，將此直線繞\(z\)軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和\(xy\)平面圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為　　　。
(113大直高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3844&page=1#pid25823)

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引用:

原帖由 kobelian 於 2025-4-13 09:25 發表
114板橋高中

計算證明4:
先證明(cotα*cotβ+cotβ*cotγ+cotγ*cotα+cot²β)/csc²β=4  (歐洲競賽試題)
令a=cotα*cotβ+cotβ*cotγ+cotγ*cotα ,b=cotβ
則(a+b²)/(1+b²)=4 ,a=4+3b²----------(*)
所求=(tanα+tanβ+tanγ)/(tanα*tanγ)
=(cotα*cotβ+cotβ*cotγ+cotγ*cotα)/cotβ
=a/b=3b+4/b=3cotβ+4/cotβ

請參考