114建國中學

請教填充題11.

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-30 22:59 發表
請教填充題11.

設\(x_1、…、x_{25}\)中，有\(p\)個正數\(a_1、…、a_p\)，\(q\)個負數\(b_1、…、b_q\)
\(a_1^2+…+a_p^2+b_1^2+...+b_q^2=1\)、\(p＋q \leq 25\)
令\(K＝a_1＋…＋a_p＝-(b_1＋…＋b_q)\)
原題目即求\(2K\)的最大值
由Cauchy-Schwarz Inequality知
(\(a_i\)平方和)．\(p \geq K^2\)，即(\(a_i\)平方和) \( \geq \displaystyle\frac{K^2}{p}\)
(\(b_j\)平方和)．\(q \geq K^2\)，即(\(b_j\)平方和) \(\geq \displaystyle\frac{K^2}{q}\)

兩式相加，得\(1 \geq K^2 (\displaystyle\frac{1}{p}＋\displaystyle\frac{1}{q})\)
即\(K^2 \leq \displaystyle\frac{pq}{p+q}\)
當\((p , q)=(12,13)\)或\((13,12)\)時，\(2K\)有最大值為\(\displaystyle\frac{4\sqrt{39}}{5}\)

114.4.1版主補充
將官方題目移到第一篇

請問老師1，7，9

第1題
設\(\overline{AB}=c\)，\(\overline{AC}=b\)，
令\(\angle CAD=\alpha\)，
得\(\tan\alpha=\tan(\theta-45^{\circ})=\frac{1}{7}\)
因為\( \triangle ABC\)面積\(＝ \triangle ABD\)面積+\( \triangle ACD\)面積，
所以\(\frac{2}{5}bc=\frac{3}{2}c+\frac{3}{10}b\)
再利用算幾不等式，得\(bc\geq \frac{45}{4}\)
就可得\( \triangle ABC\)面積的最小值=\(\frac{2}{5}\times \frac{45}{4}=\frac{9}{2}\)

第7題
將\(\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta\)代入，
令\(x=\sin\theta\)，利用微分，求\(f(x)=\frac{8-2x^2}{3+x}\)在區間\([-1,1]\)的最大值與最小值
若\(f'(x)=\frac{-2x^2-12x-8}{(3+x)^2}=0\)，則\(x=-3\pm\sqrt{5}\)
比較\(f(-1)=3\)，\(f(1)=\frac{3}{2}\)，\(f(-3+\sqrt{5})=12-4\sqrt{5}\)
故\(M=12-4\sqrt{5}\)，\(m=\frac{3}{2}\)

第9題
\(x^2＋y^2＋z^2＝(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=(x+y+z)^2-2xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\)
令\(|x|=|y|=|z|=r\)，得\(|xyz|=r^3=\sqrt{8}\)，
\(x\overline{x}=y\overline{y}=z\overline{z}=r^2=2\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}(\overline{x}+\overline{y}+\overline{z})=\frac{1}{4}(\overline{x+y+z})=-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{4}i\)
所以，\(x^2+y^2+z^2=(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{5}i)^2-2\times (\sqrt{3}+\sqrt{5}i) \times (-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{5}}{4}i)=\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{15}}{2}i\)
\(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=\frac{1}{2}Im(x^2+y^2+z^2)=\frac{\sqrt{15}}{4}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 22:13 編輯 ]

請教填充第 2 題

填充第2題
由三邊長可得，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5\)
因為\(\displaystyle\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}\)
所以\(\displaystyle\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}|^2+\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})=\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=3\)
又\(P\)、\(D\)、\(Q\)在直線\(L\)上，且直線\(L\)垂直直線\(OA\)
所以\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}=3\)
故\(\displaystyle m=\frac{3}{|\overrightarrow{OA}|^2}=\frac{3}{7}\)，\(\displaystyle n=\frac{3}{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}=\frac{3}{5}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-1 21:45 編輯 ]

填充5

想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。