114師大附中

想問J K M 感謝老師們

K
設\(\displaystyle \int_{1}^{2}f(t) dt=A\)
對原式微分可得 \(\displaystyle f(x)+xf'(x)=12x^2+4Ax+f(x)\)
即\(\displaystyle xf'(x)=12x^2+4Ax \Rightarrow f'(x)=12x+4A\)
故\(\displaystyle f(x)=6x^2+4Ax+c\)

由\(\displaystyle f(1)=4+2A=6+4A+c \Rightarrow 2A+c=-2\)
由 \(\displaystyle \int_{1}^{2}f(t) dt=A\)，得到\(5A+c=-14\)

解聯立得到\(A=-4,c=6\)，\(f(x)=6x^2-16x+6 \Rightarrow f(-1)=28\)

J
移項取絕對值
可以知道\(\displaystyle |\omega-3|=3\)，設\(\omega=(3+3cos\ t)+3isin\ t\)
且\(\displaystyle |\omega|=2\)

所以\(\displaystyle 9cos^2 \ t +18cos\ t +9sin^2\ t+9=18+18cos\ t =4\)
解得\(\displaystyle cos\ t =\frac{-7}{9}\)

故\(\omega=\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{32}i}{3}\)

所求為37

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-4-8 11:14 編輯 ]

M 不確定是不是這樣想，還請指教
n越少越好，表示個別的值盡可能的大
由\(\displaystyle 1-\frac{1}{b_k},k=1\cdots n\)，所形成的數列

最大的為\(\displaystyle \frac{1}{2},\frac{2}{3},\cdots \frac{n-1}{n}\)

因此\(\displaystyle \frac{114}{2025}\leq \frac{1}{n}\)

\(\displaystyle n\leq 17.\cdots\)
取\(n=17\)
但我找不到一個實例能說明\(n=17\)時成立，還請大神協助

C.
坐標空間中，有一個實心體\(\Omega\)，其底部為在\(xy\)平面上的橢圓區域\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1\)，若用垂直\(x\)軸於點\((x,0,0)\)的平面\(E_x\)對\(\Omega\)所作的截面都是正方形，則\(\Omega\)的體積為　　　。

N.
設\(x,y,z\in R\)，已知\(x+y+z=0\)，\(x^2+y^2+z^2=6\)，若\(x^3+y^3+z^3\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(M\times m\)的值為　　　。

選填 M. 你的不等式好像不小心寫反了

但方法是對，用同樣的方式，可以確定大部分的 \( b_n \)

由 \( n \geq 17 \)，知只要找出一組 \( n=17 \) 的狀況，即可說明最小值為 17

設 \( n = 17 \)

若 \( 2 \sim 18 \) 中，有一個數 \( m \) 沒有出現在 \( b_k \) 裡，則

\( \displaystyle \prod_{k=1}^{17}(1-\frac{1}{b_{k}})\geq\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\cdots\frac{18}{19}\right)/(1-\frac{1}{m}) \)

\( \Leftrightarrow \frac{114}{2025}\ge\left(\frac{1}{2}\cdot\cdots\cdot\frac{18}{19}\right)/(\frac{m-1}{m}) \)

\( \Leftrightarrow m-1\ge\frac{2025}{141}\approx14.4 \Leftrightarrow m \geq 16 \)

故當 \( 2,3,...,15 \) 有一個數沒出現在 \( b_k \) 中時，等號必不等成，

不妨假設 \( b_1 =2, b_2=3, \ldots b_{14} = 15\)，而得 \( \frac{38}{45}=(\frac{b_{15}-1}{b_{15}})(\frac{b_{16}-1}{b_{16}})(\frac{b_{17}-1}{b_{17}}) \)

同樣的方式，可得 \( 16, 17 \) 至少要有一個出現在 \( b_{15}, b_{16}, b_{17} \) 之中，嘗試一下，可得

\( \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\cdot\frac{14}{15}\right) \times \frac{16}{17}\cdot\frac{17}{18}\cdot\frac{19}{20} = \frac{1}{15} \times \frac{38}{45} = \frac{114}{2025}\)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2025-3-29 18:11 編輯 ]

想詢問非選Q除了使用內積得到v^2外還有什麼方法

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-29 19:22 編輯 ]

我的另一個方法是把三個向量取長度平方，之後再去化簡就可以得到各別向量的長度，但感覺精神上還是用了內積!

知道三對角線向量。 令一點為原點。求出相鄰三點坐標。