數學科及數學(IB)科為同一份試題

113.5.17補充
感謝Superconan提醒，更新答案
一、填充題
3(2)答案更正為01

3.
回答下列與數相關的問題：
(1)若將\(a=(2+\sqrt{5})^{20}+(2-\sqrt{5})^{20}\)展開後，其個位數字為　　　。
(2)若將\(b=(2+\sqrt{5})^{20}\)展開後，其整數部分的末兩位數為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841

5.
求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{3^n}=\)　　　。

求無窮級數\( \displaystyle \frac{3 \times 1}{2^4}+\frac{4 \times 2}{2^6}+\frac{5 \times 3}{2^8}+\frac{6 \times 4}{2^{10}}+\ldots \)之值為？
(103中央大學附屬中壢高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1868&page=2#pid10068)

學校有更新答案

填充3.(2)

填充第6題，提供一個純幾何的解法：

Screenshot from 2024-06-10 16-12-38.png (82.41 KB)

2024-6-10 16:14

一開始以為是Integral by parts，照以下方法算：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+2^x} dx= \int_{-1}^{1} \frac{(1+2^x)x^2-2^x x^2}{1+2^x} dx =\int^1_{-1} x^2 dx -\frac{1}{ln2} \int^{1}_{-1} \frac{2^x ln2}{1+2^x} x^2 dx =\frac{2}{3}-\frac{1}{ln2}(x^2 ln(1+2^x) |^1_{-1} - 2\int^{1}_{-1} xln(1+2^x) dx)... \]
然後就不知道怎麼處理了，那麼來問問Wolfram alpha \( \frac{x^2}{1+2^x} \)的反導函數是甚麼。
\[ \int \frac{x^2}{1+2^x} dx =\frac{2Li_3(-2^{-x})}{ln^3 2} +\frac{2xLi_2(-2^{-x})}{ln^2 2}-\frac{x^2log(2^{-x}+1)}{ln2} +C \]
其中\( Li_n(x) \)是polylogarithm function，這是甚麼函數啊...？

那麼改採其他辦法，因為有些極限的問題會用到Taylor expansion，不然也來試試好了。
由\( e^x= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...\)，以及\( 2^x=e^{x ln2}\)，可得\( 1+2^x=2 + (ln2) x + \frac{ln^2 2}{2!} x^2 + \frac{ln^3 2}{3!} x^3 +... \)
再由長除法得 \( x^2 \div (1+2^x) =\frac{1}{2} x^2 -\frac{ln2}{4} x^3 +\frac{ln^3 2}{48} x^5 -...後面都是x的奇數次 \)。故
\[ \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+2^x} dx= \int^{1}_{-1}  (\frac{1}{2} x^2 -\frac{ln2}{4} x^3 +\frac{ln^3 2}{48} x^5 -...) dx = \int^{1}_{-1}  \frac{1}{2} x^2 dx=\frac{1}{3} \]
上式的後面用到了奇函數的性質。

沒想到可以用泰勒展開式，但如果在考試當下，分部積分卡關大概就會放棄了。
還有沒有其他神奇的做法呢？

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-11 23:46 編輯 ]

填充8.

令 \(t = -x\)，則 \(dt = -dx\)

\(\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1+2^x} dx = \int_{1}^{-1}  - \frac{t^2}{1+2^{-t}} dt = \int_{1}^{-1}  - \frac{2^t \cdot t^2}{2^t+1} dt = \int_{-1}^{1}  \frac{2^t \cdot t^2}{2^t+1} dt = \int_{-1}^{1}  \frac{2^x \cdot x^2}{2^x+1} dx\)

再由

\(\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1+2^x} dx +  \int_{-1}^{1}  \frac{2^x \cdot x^2}{2^x+1} dx = \int_{-1}^{1}  x^2 dx = \frac{2}{3}\)

得 \(\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1+2^x} dx = \frac{1}{3}\) 。

註： 其實就是您開頭的第一行第一個等號。
\(\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1+2^x} dx = \int_{-1}^1 \frac{(1+2^x)x^2 - 2^x \cdot x^2}{1+2^x} dx =\int_{-1}^1 x^2 dx - \int_{-1}^1 \frac{2^x \cdot x^2}{1+2^x} dx \)

\(\displaystyle= \frac{2}{3} - \int_{-1}^1 \frac{ x^2}{2^{-x}+1} dx  \frac{2}{3} - \int_{-1}^1 \frac{x^2}{2^x+1} dx\)

感謝瑋岳老師，能發現
\( \displaystyle \int^1_{-1} \frac{x^2}{1+2^x} dx = \int^1_{-1} \frac{ 2^x x^2}{1+2^x} dx \) 真是太厲害了！

不好意思，想請教計算題3，謝謝