基女試題

一、填充題
4.
平面上，設ABC為等腰直角三角形，其中C 為直角且AC=1，在AB上取n等分點P0=AP1P2P3Pn=B，試求limnnk=1CPk−1CPk= 　　　。

已知ABC為邊長為1的正三角形，設BC邊上有n−1個等分點，由B點到C點的順序為P1P2P3Pn−1，且令B=P0，C=Pn。若Sn=ABAP1+AP1AP2+AP2AP3++APn−1AC，試求limnnSn=。
(105全國聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288)

9.
設z為複數，且z為方程式x5+x4+1=0的根，則滿足z=1的所有根之和為　　　。

112武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3731&page=1#pid24860

12.
設[x]表示不超過x的最大整數，則31+321+322+323++322024 的末兩位數為　　　。

連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268

證明題
1.
設平面四邊形ABCD的四邊長a=ABb=BCc=CDd=DA，
(1)試求此四邊形面積的最大值；
(2)若abcd為四個連續的正整數。證明：四邊形ABCD面積的最大值不為整數。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

想請教版上老師
填充7、11
謝謝!

7. 作法偏硬幹
假設a=(200)b=(232330)c=(2323346) 

令u=(pqr)v=(xyz)

因為u(u+a−b)(pqr)(p+21q−233r)=0 
同理v(v+a−c)(xyz)(xy−323z−346)=0 

故(pqr)的軌跡為球體 : (p+41)2+(q−433)2+r2=47 
(xyz)的軌跡為球體 : x2+(y−313)2+(z−326)2=3 

所求為兩球體的動點之距離最大值
故答案為球心距離加上兩個半徑為217+3+2113 

填充11.
解答如附件。

請問老師的三個向量假設是怎麼出現靈感的？好神奇！

第七題

謝謝老師們的回覆!

想請教老師們填充3與計算3
謝謝

回答你的第一個向量假設的問題
把ab兩向量先放在xy平面上去假設，之後很簡單就可以算出c向量

計算3
假設P(ab)L=mx−y=0
P對L的投影點為P(m2+1a+bmm2+1bm2+am)

PP的中點為M(2m2+2a(m2+2)+bm2m2+2am+b(2m2+1))

題意為矩陣T將P轉換到M
可以得出T=m2+22m2+2m2m2+2m2m2+22m2+22m2+1


想順帶一問
文字敘述，符號皆不變，如果題目改成T是一個線性變換矩陣，將P換成P'，使得d(P,L)=2d(P',L)
是否應該追加一個答案
\displaystyle T= \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{m^2+1} & \frac{m}{m^2+1}\\ \displaystyle \frac{m}{m^2+1} & \frac{m^2}{m^2+1} \end{bmatrix}
最一開始想到的是可能有兩種情形，但題目要的「步驟順序」是第一種答案

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2024-1-9 09:29 編輯 ]