112竹東高中 教師甄選 數學科試題及簡答

學校網頁有公告更新版的答案，如下～

數學科：填充第1題答案公布為2^2023-2024，更新為2^2023-2023 。
　　　　填充第3題答案公布為1，更新為(送分)。

二、計算證明題
1.
設\(t\)是任意實數，試求\(y=\sqrt{4+4sint}+\sqrt{2+2cost}\)的最大值為何？
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

5.
計算\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\frac{1}{n}\sqrt{4-(\frac{1}{n})^2}+\frac{1}{n}\sqrt{4-(\frac{2}{n})^2}+\ldots+\frac{1}{n}\sqrt{4-(\frac{n}{n})^2})=\)？
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)　　　。
(104高雄市高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=1#pid13706)

6.
空間中兩點\(A(8,0,12),B(7,13,13)\)，若\(P\)點在直線\(\displaystyle x+1=\frac{y}{2}=\frac{3-z}{-2}\)上，則\(\overline{PA}+\overline{PB}\)最小值為何？此時的\(P\)點坐標為何？
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

空間中，\(A(-2,8,0)\)、\(B(3,1,4)\)，\(P\)為\(y\)軸上一點，則讓\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)坐標為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

4.
實係數二次多項方程式\(f(x)=0\)有一根為2，且方程式\(f(f(x))=0\)恰只有一實根為5，則\(f(0)=\)　　　。
[解答]
藉由討論f(x)=0的開口和實根的個數
以及f(f(x))=0恰有一實根為5
可得f(x)=0為開口向下且有兩實根，另一實根大於2，
且f(5)=2，f(x)=0的頂點即為(5,2)，故f(x)=0的另一實根為8
可設f(x)=a(x-2)(x-8)，由f(5)=2得a=-2/9
因此f(0)=-2/9(-2)(-8)=-32/9

請教
填充1、7、計算3

填充第 1 題
在\(1,2,\ldots,2023\)這2023個數字的直線排列中\((a_1,a_2,\ldots,a_{2023})\)中，滿足下列條件的排列有　　　個。
排列條件：恰有一個\(i\in \{\;1,2,\ldots,2023 \}\;\)，使得\(\cases{a_1<a_2<\ldots<a_i\cr a_i>a_{i+1}\cr a_{i+1}<a_{i+2}<\ldots<a_{2023}}\)
[提示]
101 建中考過
參考 Pacers31 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1457&page=3#pid9579


填充第 7 題
在\(\Delta ABC\)中，\(D,E\)分別在\(\overline{BC}\)與\(\overline{AC}\)上且\(\overline{AD}\)是\(\overline{BC}\)邊的中線，\(\overline{BE}\)是\(\angle B\)的角平分線。若\(\overline{AD}=\overline{BE}\)且\(\overline{AD}\perp \overline{BE}\)，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=4\)，則\(\Delta ABC\)的周長為　　　。
[解答]
設 AD 和 BE 交於 F
△ABF 和 △DBF 全等
AF = DF = 2

作 DG 平行 BE 交 AC 於 G
DG = (1/2)BE = 2，FE = (1/2)DG = 1，FB = 3
AE = EG = GC = √5，AB = BD = CD = √13

所求 = 3√5 + 3√13

7.
在\(\Delta ABC\)中，\(D,E\)分別在\(\overline{BC}\)與\(\overline{AC}\)上且\(\overline{AD}\)是\(\overline{BC}\)邊的中線，\(\overline{BE}\)是\(\angle B\)的角平分線。若\(\overline{AD}=\overline{BE}\)且\(\overline{AD}\perp \overline{BE}\)，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=4\)，則\(\Delta ABC\)的周長為　　　。
[另解]
由孟式可得BF:FE=3:1
利用直角三角形BFD
可求出BC=2(13)^1/2

請教
填充: 9
計算: 1, 3, 4

填充第 9 題
已知實係數三次函數\(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)滿足下列條件：
(1)若\(f(\alpha)=\beta\)，則\(f(-2-\alpha)=-4-\beta\)恆成立，
(2)存在水平直線與函數\(y=f(x)\)的圖形有三個交點，
(3)\(a,b\)為整數且\(ad=3\)，
則\(f(x)=\)　　　。(寫成\(ax^3+b^2+cx+d\)的形式)
[解答]
存在水平直線與函數 y = f(x) 的圖形有三個交點，且 f(α) + f(-2 - α) = -4
易知 f(x) 的反曲點為 (-1，-2)
b = 3a

又 a、d 為整數，且 ad = 3
可知 f(x) 有以下四種情形
f(x) = x^3 + 3x^2 + cx + 3
f(x) = 3x^3 + 9x^2 + cx + 1
f(x) = -x^3 - 3x^2 + cx - 3
f(x) = -3x^3 - 9x^2 + cx - 1
再利用 f(-1) = -2 和 f'(x) = 0 有兩相異實根，即可求出 f(x)


計算第 1 題
設\(t\)是任意實數，試求\(y=\sqrt{4+4sint}+\sqrt{2+2cost}\)的最大值為何？
[解答]
f(t) = √(4 + 4sint) + √(2 + 2cost)
微分後令其為 0
可得 sint = 4/5，cost = 3/5 時，f(t) 有最大值 2√5


計算第 4 題
三角形\(ABC\)，其中\(a,b\)分別為\(\angle A,\angle B\)的對應邊，則請將\(\displaystyle tan(\frac{C}{2})tan(\frac{A-B}{2})\)用\(a,b\)表示，並證明之。
[解答]
tan(C/2)tan[(A - B)/2]
= cot[(A + B)/2]tan[(A - B)/2]
= {cos[(A + B)/2] / sin[(A + B)/2]}{sin[(A - B)/2] / cos[(A - B)/2]}
= [(1/2)(sinA - sinB)] / [(1/2)(sinA + sinB)] (積化和差)
= (a - b) / (a + b)

設\(a,b\)為非負整數，\(ab\ne 1\)，且\(\displaystyle k=\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}\)為非負整數。求所有可能的\(k\)值為何？

沒人解答計算3，我來試試看一個方法，但最後還有點不完整，也順便就教於各位老師。

\((a,b)=(0,0)\) 為顯然解就不討論了
假設 \(a\ge b\)
設\(b=1\)，則 \(a-1\mid a^2+a+1\) 且 \( a-1\mid a-1\)，可得 \( a-1\mid 2a+1 \Rightarrow a-1\mid 3\)，得 \(a=2,4\)
設\(b=2\)，則 \(2a-1\mid a^2+2a+4\) 且 \( 2a-1\mid 2a-1\)，可得 \( a-1\mid 5a+8 \Rightarrow 2a-1\mid 21\)，得 \(a=2,4,11\)

同理，如果直接用 \( b \) 來算，可得 \(ba-1\mid a^2+ab+b^2\) 且 \( ba-1\mid ba-1\)，可得 \( ba-1\mid b^4+b^2+1\)
而 \( b^4+b^2+1=(b^2+b+1)(b^2-b+1)\)，可以得出 \(ba-1=1,b^2+b+1,b^2-b+1,b^4+b^2+1\Rightarrow a=\frac{2}{b},b+1+\frac{2}{b},b-1+\frac{2}{b},b^3+b+\frac{2}{b}\)
所以 \(b\) 只能為1或2

但事實上，\(b\) 可以等於4
在 \(b=4\) 時，\(b^4+b^2+1=273=21\times 13\)，而因為\(21\)可以拆成\(3\times 7\)，讓 \( 4a-1\) 有了其他組合而產生解(\(a=10,23\))

我不知道怎麼說明 \( b>4\) 之後，就不會有解（或者 \(b=4\) 為唯一的特例）