112竹東高中 教師甄選 數學科試題及簡答

學校網頁有公告更新版的答案，如下～

數學科：填充第1題答案公布為2^2023-2024，更新為2^2023-2023 。
　　　　填充第3題答案公布為1，更新為(送分)。

二、計算證明題
1.
設t是任意實數，試求y=4+4sint+2+2cost 的最大值為何？
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

5.
計算limn(n14−(n1)2+n14−(n2)2++n14−(nn)2)= ？
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求limn14n24n2−12+4n2−22++4n2−n2= 　　　。
(104高雄市高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=1#pid13706)

6.
空間中兩點A(8012)B(71313)，若P點在直線x+1=y2=−23−z上，則PA+PB最小值為何？此時的P點坐標為何？
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

空間中，A(−280)、B(314)，P為y軸上一點，則讓PA+PB有最小值的P坐標為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

4.
實係數二次多項方程式f(x)=0有一根為2，且方程式f(f(x))=0恰只有一實根為5，則f(0)=　　　。
[解答]
藉由討論f(x)=0的開口和實根的個數
以及f(f(x))=0恰有一實根為5
可得f(x)=0為開口向下且有兩實根，另一實根大於2，
且f(5)=2，f(x)=0的頂點即為(5,2)，故f(x)=0的另一實根為8
可設f(x)=a(x-2)(x-8)，由f(5)=2得a=-2/9
因此f(0)=-2/9(-2)(-8)=-32/9

請教
填充1、7、計算3

填充第 1 題
在122023這2023個數字的直線排列中(a1a2a2023)中，滿足下列條件的排列有　　　個。
排列條件：恰有一個i122023，使得a1a2aiaiai+1ai+1ai+2a2023
[提示]
101 建中考過
參考 Pacers31 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1457&page=3#pid9579


填充第 7 題
在ABC中，DE分別在BC與AC上且AD是BC邊的中線，BE是B 的角平分線。若AD=BE且ADBE，已知\overline{BE}=\overline{AD}=4，則\Delta ABC的周長為　　　。
[解答]
設 AD 和 BE 交於 F
△ABF 和 △DBF 全等
AF = DF = 2

作 DG 平行 BE 交 AC 於 G
DG = (1/2)BE = 2，FE = (1/2)DG = 1，FB = 3
AE = EG = GC = √5，AB = BD = CD = √13

所求 = 3√5 + 3√13

7.
在\Delta ABC中，D,E分別在\overline{BC}與\overline{AC}上且\overline{AD}是\overline{BC}邊的中線，\overline{BE}是\angle B的角平分線。若\overline{AD}=\overline{BE}且\overline{AD}\perp \overline{BE}，已知\overline{BE}=\overline{AD}=4，則\Delta ABC的周長為　　　。
[另解]
由孟式可得BF:FE=3:1
利用直角三角形BFD
可求出BC=2(13)^1/2

請教
填充: 9
計算: 1, 3, 4

填充第 9 題
已知實係數三次函數y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d滿足下列條件：
(1)若f(\alpha)=\beta，則f(-2-\alpha)=-4-\beta恆成立，
(2)存在水平直線與函數y=f(x)的圖形有三個交點，
(3)a,b為整數且ad=3，
則f(x)=　　　。(寫成ax^3+b^2+cx+d的形式)
[解答]
存在水平直線與函數 y = f(x) 的圖形有三個交點，且 f(α) + f(-2 - α) = -4
易知 f(x) 的反曲點為 (-1，-2)
b = 3a

又 a、d 為整數，且 ad = 3
可知 f(x) 有以下四種情形
f(x) = x^3 + 3x^2 + cx + 3
f(x) = 3x^3 + 9x^2 + cx + 1
f(x) = -x^3 - 3x^2 + cx - 3
f(x) = -3x^3 - 9x^2 + cx - 1
再利用 f(-1) = -2 和 f'(x) = 0 有兩相異實根，即可求出 f(x)


計算第 1 題
設t是任意實數，試求y=\sqrt{4+4sint}+\sqrt{2+2cost}的最大值為何？
[解答]
f(t) = √(4 + 4sint) + √(2 + 2cost)
微分後令其為 0
可得 sint = 4/5，cost = 3/5 時，f(t) 有最大值 2√5


計算第 4 題
三角形ABC，其中a,b分別為\angle A,\angle B的對應邊，則請將\displaystyle tan(\frac{C}{2})tan(\frac{A-B}{2})用a,b表示，並證明之。
[解答]
tan(C/2)tan[(A - B)/2]
= cot[(A + B)/2]tan[(A - B)/2]
= {cos[(A + B)/2] / sin[(A + B)/2]}{sin[(A - B)/2] / cos[(A - B)/2]}
= [(1/2)(sinA - sinB)] / [(1/2)(sinA + sinB)] (積化和差)
= (a - b) / (a + b)

設a,b為非負整數，ab\ne 1，且\displaystyle k=\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}為非負整數。求所有可能的k值為何？

沒人解答計算3，我來試試看一個方法，但最後還有點不完整，也順便就教於各位老師。

(a,b)=(0,0) 為顯然解就不討論了
假設 a\ge b
設b=1，則 a-1\mid a^2+a+1 且 a-1\mid a-1，可得 a-1\mid 2a+1 \Rightarrow a-1\mid 3，得 a=2,4
設b=2，則 2a-1\mid a^2+2a+4 且 2a-1\mid 2a-1，可得 a-1\mid 5a+8 \Rightarrow 2a-1\mid 21，得 a=2,4,11

同理，如果直接用 b 來算，可得 ba-1\mid a^2+ab+b^2 且 ba-1\mid ba-1，可得 ba-1\mid b^4+b^2+1
而 b^4+b^2+1=(b^2+b+1)(b^2-b+1)，可以得出 ba-1=1,b^2+b+1,b^2-b+1,b^4+b^2+1\Rightarrow a=\frac{2}{b},b+1+\frac{2}{b},b-1+\frac{2}{b},b^3+b+\frac{2}{b}
所以 b 只能為1或2

但事實上，b 可以等於4
在 b=4 時，b^4+b^2+1=273=21\times 13，而因為21可以拆成3\times 7，讓 4a-1 有了其他組合而產生解(a=10,23)

我不知道怎麼說明 b>4 之後，就不會有解（或者 b=4 為唯一的特例）