請教老師們這題要如何解？謝謝!!

恩~~自己的問題自己回答!!

還請老師們指教這樣的思路是否有問題？

是否還有其他的想法呢？

謝謝

請教第四題
試證對於所有正整數\(n\)，\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2\)

不等式的部分，謝謝各位老師

109.11.21補充
108高中數學能力競賽，h ttps://www.cysh.cy.edu.tw/files/14-1001-8644,r180-1.php　(連結已失效)

先證 \(\displaystyle \frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)\)

老師您好：請問應該如何證明？
謝謝老師！

\(\begin{align}
  & n+1>\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \\
& 2\left( n+1 \right)>\left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \\
& n+1>\frac{\left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}{2} \\
& \left( n+1 \right)\sqrt{n}>\frac{\sqrt{n}\left[ \left( n+1 \right)+\sqrt{n+1}\times \sqrt{n} \right]}{2}=\frac{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}{2}=\frac{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}{2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)} \\
& \frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}}<\text{}\frac{2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)}{\sqrt{n+1}\times \sqrt{n}}\text{=2}\left( \frac{\text{1}}{\sqrt{n}}-\frac{\text{1}}{\sqrt{n+1}} \right) \\
\end{align}\)

7.
已知\(\displaystyle 0<x\le \frac{\pi}{2},0<y\le \frac{\pi}{2}\)。設\(\displaystyle z_1=\frac{cosx}{siny}+\frac{cosy}{sinx}i\)，且\(|\;z_1|\;=2\)。若\(z_2=\sqrt{x}+\sqrt{y}i\)，則\(|\;z_1-z_2|\;\)的最大值為　　　。
想請問老師們如何算

之前 Ptt math 板有討論，
有網友指出應為 \( |z_1|=\sqrt{2} \)
試算一下，確實可以得到比較漂亮的化簡

各位老師好，想請教一題
方程式\(x^5-x^3-x^2-x-1=0\)共有5個複數根，這些根的五次方總和為
答案：10

設\(\displaystyle f(x)=x^5-x^3-x^2-x-1\)
考慮\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\)，直接做除法，所求為\(\displaystyle x^{-5}\)的係數
得到\(\displaystyle 5+2(x^{-2})+3(x^{-3})+2(x^{-4})+10(x^{-5})+\cdots \)
故得解為10

用遞迴也可以，不過3，4次方和不太好算，故放棄此方法