如附件
想請教計算那三題

附上本次考試所有考生成績的直方圖給各位參考

5初試成績直方圖.png (43.76 KB)

2020-4-20 22:53

[ 本帖最後由 Superconan 於 2020-4-23 11:02 編輯 ]

謝謝分享！
想請教填充12
設\(f(x)=x^3-kx^2+4k\)，若\(f(x)=0\)恰有兩相異負根與一正根，則實數\(k\)的範圍為　　　。

已有兩負根一正根前提下

由中心點得k<-3√3
由一次微分找到x=2k/3反求y得
k<-3√6
取交集得
k小於-3根號6

不曉得錯誤在哪，謝謝！

\(\displaystyle x=\frac{2}{3}k\)代入，算出來是還是\(k<-3\sqrt{3}\)

計算第一題
\(\forall x \in R\)，不等式\(\displaystyle x^2 log_a \frac{a^2(a+1)}{3}+2xlog_a\frac{3a}{a+1}+log_a \frac{(a+1)^2}{9a^2}>0\)恆成立，求\(a\)的範圍？
[解答]
令\({{\log }_{a}}\frac{a+1}{3}=t\)
原不等式改寫成\(\left( 2+t \right){{x}^{2}}+2\left( 1-t \right)x+2\left( t-1 \right)>0\)
再利用\(t>-2\)及判別式小於0，可得\(\frac{1}{2}<a<1\)

計算第二題
類似的考古題考過兩次

計算2 參考108雄女

計算3
已知連續隨機變數\(X\)的機率密度函數\(f(x)=\cases{ax+b，0<x<1\cr 0，x\le 0或x\ge 1}\)且\(X\)的期望值\(\displaystyle E(X)=\frac{7}{12}\)，則\(X\)的變異數\(V(X)\)為何？
[解答]
應該是這樣算
機率總和為1
所以先由積分0~1 f(x)dx=1 列出第一個ab關係式
PS.因為上述區間範圍外皆為0，積分出來依舊是0，故考慮0~1即可

E(X)為積分0~1 xf(x)dx=7/12 列出第2個關係式

由上述可以得到a=1 b=1/2

Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
先求出E(X^2)=積分0~1 (x^2)f(x)dx=5/12

故得Var(X)=5/12-(7/12)^2=11/144

填充11
一拋物線\(y^2=4x\)與一直線交於\(A\)、\(B\)兩點，已知拋物線與直線所圍出來的面積為\(\displaystyle \frac{9}{8}\)，則\(A\)、\(B\)的中點軌跡方程式為　　　。
獻醜一下，不知道有無其他快速解法???

引用:

原帖由 swallow7103 於 2020-4-19 18:32 發表
填充11 獻醜一下，不知道有無其他快速解法???

"拋物線與直線所圍成的區域面積"其實是有公式的
如您的假設~~
拋物線:x=(1/4)y² ,  與直線AB的交點為A(  (y1)²/4  ,y1 )  ,B(  (y2)²/4  ,y2 )
則拋物線與直線所圍成的區域面積=[(1/4) /6]*| y1-y2|^3= 9/8
可得| y1-y2| =3 ,剩下就用您後面的方式處理~~

計算 1 要記得檢查真數跟底數的條件
雖然我瞄了一下前幾樓的答案，沒檢查答案也會對
但既然考計算，我猜沒檢查會扣分

不是沒檢查，而是在這裡回答不用寫得太清楚

了解