想請教填充第10題

這三個角度的關係串不太起來
做了許多輔助線也不行QQ

希望前輩指點  謝謝大家！～

填充10，利用正弦定理。(不過感覺有更好的做法)

第10題
平面上AC=AD，∠ABC=90，∠CAD=，∠CBD=，∠CAB=，若cos=54，cos=817，則tan=　　　。
[解答]
\begin{align}   & \cos \gamma =\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}-\beta -\left( \gamma -\alpha  \right) \right)}{\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)}=\frac{\cos \left( \alpha -\beta -\gamma  \right)}{\cos \beta } \\ & \frac{8}{17}\cos \gamma =\cos \left( \alpha -\beta -\gamma  \right) \\ & =\cos \left( \alpha -\beta  \right)\cos \gamma +\sin \left( \alpha -\beta  \right)\sin \gamma  \\ & =\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta  \right)\cos \gamma +\left( \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta  \right)\sin \gamma  \\ & =\left( \frac{4}{5}\times \frac{8}{17}+\frac{3}{5}\times \frac{15}{17} \right)\cos \gamma +\left( \frac{3}{5}\times \frac{8}{17}-\frac{4}{5}\times \frac{15}{17} \right)\sin \gamma  \\ & 37\cos \gamma =36\sin \gamma  \\ & \tan \gamma =\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }=\frac{37}{36} \\ \end{align}

110.5.3補充
在xy平面上\overline{AC}=\overline{AD}，∠ABC=90^{\circ}，∠CAD=\alpha，∠CBD=\beta，∠CAB=\gamma，若\displaystyle sin\alpha=\frac{3}{5}，\displaystyle cos\beta=\frac{5}{13}，則tan\gamma=　　　。
(110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

感謝兩位～受益良多！

填充10.

想請問填充3和7,謝謝

填充3:按照題意A6可往右上走，也可往左下走，
A7可往右走，也可往左走，所以無法計算。
採用向量的無窮等比級數公式計算即可。

填充7.

引用:

原帖由 laylay 於 2018-7-4 06:15 發表
填充7.

第7題ok了但第3題還是不行，能否請老師再講詳細一點，謝謝

填充3.
如下圖，O(0,0)，A_1(8,0)，\overline{A_1A_2}與x軸正向夾45^{\circ}角，又\overline{A_1A_2}//  \overline{A_3A_4}// \overline{A_5A_6}// \ldots，且\overline{OA_1}// \overline{A_2A_3}// \overline{A_4A_5}// \ldots，已知\overline{A_1A_2}=8，\overline{A_1A_2}=2\overline{A_2A_3}，\overline{A_2A_3}=2\overline{A_3A_4}，\ldots，\overline{A_kA_{k+1}}=2\overline{A_{k+1}A_{k+2}}，k \in N。若點A_n的坐標為(x_n,y_n)，則\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n)=　　　　。
[解]
\matrix{\displaystyle y_n=&4\sqrt{2}&-&\sqrt{2}&+&\frac{\sqrt{2}}{4}&-&\frac{\sqrt{2}}{16}&+\ldots \cr &A_2&&A_4&&A_6&&A_8&}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=\frac{4\sqrt{2}}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{16\sqrt{2}}{5}

\matrix{\displaystyle x_n&8&+&4\sqrt{2}&-&4&-&\sqrt{2}&+&1&+&\frac{\sqrt{2}}{4}&-&\frac{1}{4}&+\ldots \cr &A_1&&A_2&&A_3&&A_4&&A_5&&A_6&&A_7&}
x_{n} 拆成兩個無窮等比級數和。
\displaystyle x_n=8+\left(4\sqrt{2}-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\ldots \right)+\left(-4+1-\frac{1}{4}+\ldots \right)
\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=8+\frac{4\sqrt{2}}{1-(-\frac{1}{4})}+\frac{-4}{1-(-\frac{1}{4})}=8+\frac{16\sqrt{2}}{5}-\frac{16}{5}=\frac{24+16\sqrt{2}}{5}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n)=\frac{24+16\sqrt{2}}{5}+\frac{16\sqrt{2}}{5}=\frac{24+32\sqrt{2}}{5}