如附檔

Part B 第七題
(a+b+c)2017 的任一項為 axbyczx+y+z=2017 的形式 ，因此共有 C22019個不同類項。
然而當 y 和 z 兩數是一奇數一偶數時，axbycz 和 ax(−b)y(−c)z 會互消。
而當 x+y+z=2017 ，且 y 和 z 是一奇一偶時，(xyz)的奇偶性為 (偶, 奇, 偶) 或(偶, 偶, 奇)；

(1) 若(x, y ,z )為 (偶, 奇, 偶) 時，可令x=2py=2q+1z=2r，其中pqr為整數，則2p+(2q+1)+2r=2017，即p+q+r=1008，因此將有 C21010個項會消失。
(2) 若(xyz)為 (偶, 偶, 奇) 時， 計算方式同(1) ，結果亦相同。

綜合上述，(a+b+c)2017+(a−b−c)2017   會有C22019−2C21010=2037171−1019090=1018081   個不同項。

填充 B - 7 ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷  化簡後共有幾項?

解: ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷ = [ a + (b + c) ] ²⁰¹⁷+ [ a - (b + c) ] ²⁰¹⁷

化簡後剩 (b + c) 取偶次方者 = 1+3+5+...+2017 = 1009² = 1018081 項。

設xyz=k,令f(t)=t^3-3t^2-9t-k,則f(t)=0 三根為x,y,z , f`(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)
由函數圖形(請自己畫)知
    當x有最大值時-1為f(t)=0的重根=>f(t)=(t+1)^2*(t-5)=>x有最大值=5(此時y=z=-1)
    當x有最小值時 3為f(t)=0的重根=>f(t)=(t-3)^2*(t+3)=>x有最小值=-3(此時y=z=3)


另解:
y+z=3-x
x(y+z)+yz=-9 => yz=-9-x(3-x)=x^2-3x-9
(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(3-x)^2-4(x^2-3x-9)=-3(x+3)(x-5)>=0 => -3<=x<=5  (等號成立時y=z=(3-x)/2)

最近一題兩解有出現,每解只能得一半喔 !

y，z是方程式t2+x−3t+x2−3x−9=0 的兩實根

  x−32−4x2−3x−90−3x5 

另解:

令g(x)=f(x+2015)=ax^2+bx+c
則原式=>  1<=g(-2)= 4a-2b+c <=5.....(1)
3<=g(-1)= a-b+c <=13.....(2)            2<=g(0)=  c  <=8.....(3)
設目標=g(2)=4a+2b+c=p(4a-2b+c)+q(a-b+c)+r(c)
比較係數得 p=3,q=-8,r=6
故最大值=5p+3q+8r=39

請問填充A2,5,7題,謝謝

A-2 題
分成以下情形
(1) 四個 5：1 種
(2) 三個 5：6 種
(3) 二個 5：22 種
(4) 一個 5：54 種
(5) 零個 5：81 種