第9題
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k^6-k(k-1)^5}{n^6}=\)
。
[解答]
對，是黎曼和，但非等差分割
分割的端點為 \(\displaystyle x_k = \frac{k^5}{n^5}, n=0,1,2,\ldots, n \)
取樣點為右端點 \( \xi_k = x_k \)
令 \( f(x) = \sqrt[5]{x} \)，則 \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \times \frac{k^5 - (k-1)^5}{n^5} = \sum_{k=1}^n f(x_k)(x_{k} - x_{k-1}) \)
取極限為 \( \int_0^1 f(x)dx = \frac56 \)
111.6.11補充
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615
