將一正方形分割成n塊小正方形，其大小不拘，試證n=5時無解，並寫出可能無解的n，說明這些無解的n的共通特性。

無解的 n 只有限個，這樣共通性要說什麼？？

構造：
(1) 長寬各砍一半可得 \( n =1+3 \)。
(2) 割成 3x3，再把其中4塊黏起來，可得 \( n=1+5 \)
反複使用 (1)(2) 可得 \( n=4,6,7,9,10,11,12,\ldots \)
(3) 仿 (2) 割成 4x4，9塊黏起來，可得 \( n =8 \)

剩下 \( n=2,3,5 \)

感謝寸斯~~
剛剛想了一下...似乎丟了題沒水準的上來~~

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2014-9-9 09:59 PM 編輯 ]

這題蠻好玩的，怎會沒水準？

分割完後的每個小正方形，最多只能取原正方形的某 1 個頂點來當頂點
故 n 的最小值是 4

n = 5 時，假設其中 4 塊取原正方形的某 1 個頂點來當頂點的小正方形分別是 A、B、C、D
其中 A 在左上角，B 在左下角，C 在右上角，D 在右下角
設原正方形邊長 x，A 邊長 a，B 邊長 b，C 邊長 c，D 邊長 d

(1) a + b ＜ x，畫圖可知，除 A、B、C、D 外，剩下區域不可能只構成第 5 個正方形

(2) a + b = x，且 a ＞ x/2 ＞ b
則 0 ＜ c ≦ x - a，0 ＜ d ≦ x - a
b + c ＜ x，c + d ＜ x
除 A、B、C、D 外，剩下區域亦不可能只構成第 5 個正方形

是很好玩...道理想一想，想得通，但證明要寫得簡潔清楚，有麻煩

但無解的 n (2,3,5) 共同特性，到底是想問什麼？

有點小疑惑提出，看看是否想錯
n=2可看成 5^2=4^3+3^2
n=3可看成3^2=2^2+2^2+1^2
n=5 還想不到否定有解方法
構造那邊有點不懂怎麼反覆(1)、(2)鏟除n>=6(太精簡了，腦袋轉不太過去)

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-10 06:35 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2014-9-10 06:33 PM 發表
有點小疑惑提出，看看是否想錯
n=2可看成 5^2=4^3+3^2
n=3可看成3^2=2^2+2^2+1^2
n=5 還想不到否定有解方法
構造那邊有點不懂怎麼反覆(1)、(2)鏟除n>=6(太精簡了，腦袋轉不太過去) ...

恕我眼拙，看不出 \( n=2,3 \) 有什麼共通性？左式的 \( 5^2, 3^2 \) 和 \( n \) 有關係嗎？

還是您指的是這樣的等式，可以解釋或薀涵無解？

使用 (1)(2) 只排除了 \( n \geq 9 \) 及 \( n=4,6,7 \)，沒有 8，所以當然推不出"排出 \( n \geq 6 \)"

方法是先用 (1)(2) 的切割法構造 \( n=9,10,11 \)，接著對 9,10,11 重複使用 (1)，就會一直加 3，而造出 \( n\geq 9 \) 的自然數

我的意思其實是要分割成兩個小正方形(n=2)有個方式：

先將原正方形等分割成\(5\times5 \)，把其中相鄰兩邊上的9塊，黏成一塊\(3\times3 \)，剩一塊\(4\times4 \)，共2塊。

另外，若要分割成三個小正方形(n=3)：先分割成\(3\times3 \),

把其中八塊黏成兩塊\(2\times2 \)，剩一塊，共3塊。

如此一來，這樣n=5會有解

不知道哪邊出問題@@

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-10 11:09 PM 編輯 ]

完全看不懂(汗!)

原正方形只能分割，不能分割完再拼湊