1.
2.矩陣1324 為一線性變換，試說明其在幾何上的意義
3.令−  =(a1a2a3)−  =(b1b2b3)−  =(c1c2c3)
證明下面五個敘述為等價
(1)三向量線性獨立
(2)行列式≠0
(3)a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0a3x+b3y+c3z=0有唯一解x=y=z=0
(4)A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3有反矩陣
(5)−  =x−  +y−  +z−  有唯一表示法

4.有一球S：x2+y2+(z−1)2=1與一點P(0,3,2)，過P作此球的切線，交xy平面的點形成一拋物線，求正焦弦長

5.有一正十二面體(各面皆為正五邊形)，外接正立方體邊長為R，內接正立方體邊長為r，求rR

正六面體外接最小正十二面體_html.png (37.71 KB)

2014-4-29 18:47

20091007_07_html.png (140.14 KB)

2014-4-29 18:47

6.有一半徑為1的圓O，及一高為1的等腰三角形ABC，圓O在三角形ABC底邊滾動，且圓與三角形兩腰分別交於D、E點，證∠DOE為定值

MWSnap029 2014-04-29, 18_13_49.jpg (15.54 KB)

2014-4-29 18:15

7.BAC 為一銳角，有一圓C在角的內部，分別在−AB−AC及圓C上取P、Q、R點，當三點位置為何，三角形PQR周長最小，證明你的想法

8.已知
(2  −1)2=9  −8 
(2  −1)3=50  −49 
(2  −1)4=289  −288 
試證明對於任意正整數n，皆存在正整數m使得(2  −1)n=m+1  −m 
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237

9.擲一公正硬幣若干次，擲出正面得1分，擲出反面得2分
若pn表示得到n分的機率
(1)列出pn的遞迴關係式並說明
(2)解出pn一般式

有第1題忘記了，請各位補上

#7
(不知怎麼了,ggb無法存成圖檔,先用.pdf表示)
如附件~
作角BAC平分線交圓O於R點(靠近A的那點)
以AB為對稱線,將R點對稱到R'
以AC為對稱線,將R點對稱到R''
連接R'R''分別交AB,AC於P,Q兩點
連接PQ,QR,RP則三角形PQR周長即為最小值

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-29 08:12 PM 編輯 ]

4.
有一球S：x2+y2+(z−1)2=1與一點P(032)，過P作此球的切線，交xy平面的點形成一拋物線，求正焦弦長。
[解答]
我借用99育成高中第7題的動畫來解釋球與xy平面相交的點為什麼是焦點，所以P點和本題意義不同。

(1)PDPF都是圓的切線，得到PD=PF
(2)PD是圓錐上母線的其中一段，移動到上方
(3)PD平移到PE，得到PD=PE
由(1)(3)可知PF=PE，圖形為拋物線，F為焦點，V為頂點，L為準線


SketchUp檔下載

圓和切線.gif (4.77 KB)

2014-4-30 07:03

x軸從螢幕延伸而出，只畫出y,z軸
設切線方程式為z−2=m(y−3)，圓心(01)到直線的距離為1，解得m=043，頂點為V(310)
焦點為 F(0,0) ，正焦弦長 \displaystyle \frac{4}{3}



5.正十二面體
[解答]

正12面體的內外接正立方體.gif (250.24 KB)

2014-4-30 08:25

正五邊形.gif (4.15 KB)

2014-4-30 05:50

\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{cos54°+cos18°}{cos18°}=\frac{(4cos^318°-3cos18°)+cos18°}{cos18°}=4cos^218°-2
\displaystyle =4(1-sin^218°)-2=2-4sin^218°=2-4(\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}

103.10.19補充
仿幾何原本從正六面構造正十二面體
張海潮／臺灣大學數學系(退休)
https://ghresource.k12ea.gov.tw/uploads/1676605026333rssKzFWm.pdf

第 8 題
n 為奇數，(√2 - 1)^n = a√2 - b，其中 2a^2 = b^2 + 1
n 為偶數，(√2 - 1)^n = a - b√2，其中 a^2 = 2b^2 + 1
先用數學歸納法證明上式成立

然後
n 為奇數，取 m = b^2
n 為偶數，取 m = 2b^2
即可

1
f(x)=(ax+b)/(x^{2}+1)有最大值3/2,最小值 - 1/2 ，求a,b(2解)

引用:

原帖由 shiauy 於 2014-4-29 05:41 PM 發表
1.
2.矩陣\displaystyle\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]為一線性變換，試說明其在幾何上的意義
3.令\(\overrightarrow \alpha   = ({a_1},{a_2},{a_3}),\overrightarrow {\beta } ...

[ 本帖最後由 natureling 於 2014-4-29 10:39 PM 編輯 ]

第 1 題
y = (ax + b)/(x^2 + 1)
yx^2 - ax + (y - b) = 0
(-a)^2 - 4y(y - b) ≧ 0
4y^2 - 4by - a^2 ≦ 0
因 -1/2 ≦ y ≦ 3/2
由根與係數關係知 b = 1，a = ±√3

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-29 07:15 PM 發表
#7
(不知怎麼了,ggb無法存成圖檔,先用.pdf表示)
如附件~
作角BAC平分線交圓O於R點(靠近A的那點)
以AB為對稱線,將R點對稱到R'
以AC為對稱線,將R點對稱到R''
連接R'R''分別交AB,AC於P,Q兩點
連接PQ,QR,RP則三角形PQR周 ...

補充:
過R點做圓O的切線,假設分別交AB,AC於D,E兩點
則三角形PQR稱為三角形ADE的"垂足三角形"

第 9 題
(1) p_n = (1/2)p_(n-1) + (1/2)p_(n-2)
(2) p_n = (2/3) + (1/3)(-1/2)^n

鋼琴大~
第9題（1 ） 接下來該如何做呢?
謝謝喔~~　

引用:

原帖由 艾瑞卡 於 2014-4-30 09:28 PM 發表
第9題（1 ） 接下來該如何做呢?

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