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第5題:  類似101台中一中填充題 第15題,但細節討論更多

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2013-5-27 18:09

第4題: 給一題高雄某高中的考題 ,附詳解

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-7 07:06 PM 編輯 ]

3.
ABC，cosA:cosB:cosC=25:39:(−3)，求a:b:c
[解答]
cosC=cos(−(A+B))=−cos(A+B)=−cosAcosB+sinAsinB=−cosAcosB+(1−cos2A)(1−cos2B) 

cosC+cosAcosB=1−cos2A−cos2B+cos2Acos2B 

cos2C+2cosAcosBcosC+cos2Acos2B=1−cos2A−cos2B+cos2Acos2B

2cosAcosBcosC+cos2A+cos2B+cos2C−1=0

令cosA=25t，cosB=39t，cosC=−3t

代入上式得2(25t)(39t)(−3t)+(25t)2+(39t)2+(−3t)2−1=0

5850t3−2155t2+1=0
(45t−1)(130t2−45t−1)=0　(我用數學軟體算出來的)
另外兩根為t=−0020953819317376，t=036710766547122
當t=−002時，cosAcosB都是負的，∠A∠B大於90
當t=036時，cosB=39036=1404
所以另兩根都不合

t=145

cosA=4525=95　，　cosB=4539=1513　，　cosC=45−3=−115

sinA=9214 　，　sinB=15214 　，　sinC=15414 

a:b:c=5:3:6


105.1.17補充一題
三角形ABC中，已知cosA:cosB:cosC=25:19:7，求sinA:sinB:sinC=？

112.7.11補充
ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:7，求cosA:cosB:cosC=　　　。
(112羅東高工，https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html)

三角形ABC上邊上分別有DEF三點

AD BE CF 共點於H點

若角ADC為120度  角EDC為60度  求角ADF?

令直線EF分別交直線AD和直線BC於P和Q
因為AD、BE、CF共點，所以 E、F；P、Q 是調和點列，
那麼 DE、DF；DP、DQ 為調和線束，
而DE是角PDC的角平分線，
故DF是角PDB的角平分線，
角ADF=30度

引用:

原帖由 lyingheart 於 2013-5-27 04:54 PM 發表
令直線EF分別交直線AD和直線BC於P和Q
因為AD、BE、CF共點，所以 E、F；P、Q 是調和點列，
那麼 DE、DF；DP、DQ 為調和線束，
而DE是角PDC的角平分線，
故DF是角PDB的角平分線，
角ADF=30度 ...

PS:沒圖沒真相...煩請高手在做更詳細解說

那我換個寫法好了
對三角形ABC三線AD、BE、CF交於H，由西瓦定理得
FBAFDCBDEACE=1

CE是角平分線，所以
EACE=DACD

兩式比較
FBAF=DBAD

故DF為角平分線。

(原則上這些都不需要圖，可以自己畫一下就好)

我是用入射角等於反射角求出來的....^^"
方法：
因為角ADC=120度，角EDC=60度，所以角ADE=60度，
然後延伸FD直線，此時ED垂直FD，(因為入射角等於反射角，所以ED為FD的法線)
所以角FDA=30度，故角BDF=30度。

應該沒分，
ED垂直FD，這哪來的??

根據入射角等於反射角的定義，FD為反射面，那我們就可以知道ED為反射面的法線，所以會垂直。

"ED為反射面的法線"這句沒錯，但此時為何反射面會是FD??
如果你在BF上任取一點G，那麼直線GD是不是反射面??為什麼??
而且你這樣子，完全沒把H點放在眼裡，不覺得很奇怪嗎??