試題及答案，如附件。

計算題：
（資料來源：http://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1367072177.A.40A.html ）

1.平面上有三定點ABC及一圓，其圓心為O點，半徑為r，
  若AOBC為平行四邊形，其中直線AB與圓不相交，若圓
  上有一點P，使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時，
  (1)試證：P點為OC與圓的交點
  (2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值


2.橢圓的焦點為AC兩點、橢圓上有BD兩點
  其中四邊形ABCD的四個邊長乘積為2013
  且BAD=60度，BCD=120度，求ABCD面積

2.
求下列的級數和：12+(12+23)+(12+23+34)++(12+23+34++(n−1)n)

類題
1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)++17(1+3+6++153)=？
(101中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

因為102文華高中這題問的是一般項，用差分來算的話最後會得到aC0n+bC1n+cC2n+dC3n+eC4n，整理答案時因式分解反而又變得更麻煩


11.
設f(ab)=(61−a−28b)2+(62−a−29b)2+(60−a−30b)2+(58−a−31b)2+(59−a−32b)2，當f(ab)有最小值時，求此時數對(ab)=？
[解答]
對f(ab)的a偏微分得
2(61−a−28b)(−1)+2(62−a−29b)(−1)+2(60−a−30b)(−1)+2(58−a−31b)(−1)+2(59−a−32b)(−1)
=−2[(58+59+60+61+62)−5a−(28+29+30+31+32)b]
=−2(300−5a−150b)=−10(60−a−30b)=0
得a=60−30b代入原式
(61−60+30b−28b)2+(62−60+30b−29b)2+(60−60+30b−30b)2+(58−60+30b−31b)2+(59−60+30b−32b)2
=(1+2b)2+(2+b)2+(−2−b)2+(−1−2b)2
=10b2+16b+10=10(b+54)2+518
當b=−54，a=60−305−4=84時，f(ab)有最小值


類題
Find the minimum value of 2x2+2y2+5z2−2xy−4yz−4x−2z+15 for real numbers x, y, z.
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)

這題可以湊成完全平方式求得最小值，假若一時之間看不出來該怎麼湊的話
分別對x,y,z作偏微分，三個式子解出來的x,y,z就會讓原式有最小值
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1924

第 11 題：（應該可以看得出來題目中的 f(ab) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」）

五個數據 (xiyi)為(2861)(2962)(3060)(3158)(3259) 以最小平方法所得之迴歸直線 y=a+bx

此迴歸直線必通過 (xy)=(3060)

且斜率為 5i=1xi−x25i=1xi−xyi−y=22+12+02+12+22(−2)1+(−1)2+00+1(−2)+2(−1)=5−4

因此，此迴歸直線方程式為 y−60=5−4x−30 

y=84−54

(ab)=(84−54)




註：另外一個求迴歸直線 a+bx=y 的公式 ni=11a+ni=1xib=yini=11xia+ni=1xixib=yixi  如下篇回覆被寸絲給解走了～ＸＤＤ

11. 偏微分被先用了，那就來個另解

令 A=111112829303132b=[61  62  6  58  59]Tx=[a  b]T

則 ATAx=ATb，其中 AT 為 A 的轉置

透過平方公式 (30+k)2 和分配律 (30+k)(60+l)，計算上式之矩陣乘法得

51501504510x=3008992  易解得 x=[84  −08]T

想先請教5，7，9，13，

第5題
因為x,y,z最多為三位數，所以a的可能值與(x,y,z)解的個數相同
360=23325
每個質因數必須有人取到最高次，所以是
(43−33)(33−23)(23−13)=4921

第 5 題：

因為 xyz 的最小公倍數為 360，

所以可以知道 xyz 三數皆頂多為三位數，

因此 a 的可能值個數 與有序數組 (xyz) 的可能組數一樣多。

360=23325

先來研究 23 的可能分布情形，xyz 中至少有一個數恰含 23 的因數（其他數中 2 的次方數皆小於或等於 3），

因此 23 這個因數的分配可能有 C13(3+1)2−C23(3+1)+C33=37 種

同理，32 這個因數的分配可能有 C13(2+1)2−C23(2+1)+C33=19 種

　　　51 這個因數的分配可能有 C13(1+1)2−C23(1+1)+C33=7 種

所以，滿足條件的有序數組 (xyz) 有 37197=4921 組數，

即 a 的可能值個數有 4921 個。

第7題
令 abcdep 分別表示A,B,C,D,E,P所代表的複數
z5−i=(z−a)(z−b)(z−c)(z−d)(z−e)
所求為
p−ap−bp−cp−dp−e=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)(p−e)=p5−i=−4−5i=41 

7.   z5−i=(z−z1)(z−z2)(z−z3)(z−z4)(z−z5)，

z=1+i 代入，取絕對值，得所求 =−4−5i=41  。

填 13. f(x)=(x−1)211−(x−1)=(x−1)2(1+(x−1)+(x−1)2+)=k=2(x−1)k, for 0<|x-1|<1。
(筆誤：漏了平方，已補上)

故 f(5)(1)=5!, f(7)(1)=7!，所求 =5!7!=42 。
(應該要用到泰勒展開式，以及此冪級數的唯一性)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 11:01 PM 編輯 ]

第 7 題：

令 z5−i=0 的五根為 z1z2z3z4z5，且令 z0=1+i

則 z5−i=z−z1z−z2z−z3z−z4z−z5 

PAPBPCPDPE

　　=z0−z1z0−z2z0−z3z0−z4z0−z5

　　=z05−i

　　=1+i5−i 

　　=1+i21+i21+i−i 

　　=2i2i1+i−i 

　　=−5i−4

　　=41 


後註：我（回覆）怎麼總慢一步～囧rz......