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以下都是之前寫的，沒有仔細再看一次，如有錯誤，還請告知。
填充1.
球\(S_1\)外接於四面體\(ABCD\)，另一個半徑為1的球面\(S_2\)與平面\(ABC\)相切，並且\(S_1\)、\(S_2\)內切於\(D\)點，已知\(\overline{AD}=3\)，\(\displaystyle cos\angle BAC=\frac{4}{5}\)，\(\angle BAD=\angle CAD=45^{\circ}\)，試問四面體\(ABCD\)的體積為 。
[解答]
不高明的方法如下
令 \( H , H_{1} , H_{2} \) 分別為 D 對 \( ABC \) , \( \overline{AB} \), \( \overline{AC}\) 之投影點。可得 \( \triangle AHH_{1}\cong\triangle AHH_{2} \) (RHS)。
(紅字修正原筆誤，三垂線定理 \( \Rightarrow H_1, H_2 \) 處直角)
因此 \( \overline{AH} \) 平分 \( \angle BAC\Rightarrow\cos\angle BAH=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \) \( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos \angle BAH}\overline{AD} \) \(=\sqrt{5}\Rightarrow\overline{DH}=2 \) 。
(紅字修正原筆誤 \( \overline{AH} = .. \) )
令 \( Q \) 為 \( S_2 \) 的球心，\( R \) 為 \( S_2 \) 和平面 ABC 切點。則 \( 2 = \overline{DQ}+\overline{QR} \geq \overline{DR} \geq \overline{DH} =2 \)。等號成立條件為 \( R = H \) 且 \( D, Q, H \) 共線。
(補上三角不等式之論證)
又 \( D \) 為兩球之切點，因此 \( D, Q, S_{1} \) 之球心亦共線，因此 \( \overleftrightarrow{DH} \) 通過 \( D, Q, H \) 和 \( S_1 \) 的球心。
又 \( \overleftrightarrow{DH} \perp ABC \) 平面於 \( H \)，故 \( H \) 為 \( \triangle ABC \) 之外心。
因此 \( \overleftrightarrow{HH_{1}}
, \overleftrightarrow{HH_{2}} \) 為 \( \overline{AB}, \overline{AC} \)之中垂線，\( \Rightarrow \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)。
\( \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{27}{5}\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{5}\cdot2=\frac{18}{5} \) 。
填充2.
已知拋物線的頂點在原點，焦點在\(x\)軸上，\(\triangle ABC\)三個頂點都在拋物線上，且\(\triangle ABC\)的重心為拋物線的焦點\(F\)，若\(\overline{BC}\)邊所在的直線為\(4x+y-20=0\)，試求拋物線的方程式為 。
[解答]
設所求方程式為 \( y^{2}=4cx \) ，則 \( F(c,0) \) 。與直線方程式聯立可得
\( 4x^{2}-(40+c)x+100=0\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{40+c}{4}\Rightarrow y_{1}+y_{2}=-c \) 。
由重心可得三頂點之坐標和 \( \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & =3c\\
y_{1}+y_{2}+y_{3} & =0
\end{cases}\Rightarrow x_{3}=\frac{11}{4}c-10
, y_{3}=c\Rightarrow c^{2}=11c^{2}-40c\Rightarrow c=4 \) 或 0 (不合)。
故所求 \( y^{2}=16x \) 。
填充 7.
已知\(\cases{tan\alpha+log_3(3tna\alpha+6)=2\cr tan\beta+3^{tna\beta-1}=4}\)，求\(tan\alpha+tan\beta=\) 。
[解答]
這題很常見，只是要稍微平移一下
令 \( x=\tan\alpha+2 \) ，則 \( x+\log_{3}x=3\Rightarrow3-x=\log_{3}x \) ；
令 \( y=\tan\beta-1 \) ，則 \( y+1+3^{y}=4\Rightarrow3^{y}=3-y \) 。
由反函數圖形之對稱性得 \( x+y=3\Rightarrow\tan\alpha+\tan\beta=2 \) 。
填充 8.
將268個數放在一個圓周上，任意連續的20個數字之和都等於75，且放在第17號位置的數為3，第83號位置的數為4，第144號位置的數為9，則第210號位置的數為 。
[解答]
連續 21 個數，頭尾必相等，因此間隔為 \( \{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\} \) 之數必相等。而 \( \gcd(268,20)=4\Rightarrow\{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\}=4\mathbb{Z} \)。
\( 17\equiv1 (mod 4), 210\equiv2 (mod 4 ), 83\equiv3 (mod 4 ), 144\equiv0 (mod 4 ) \)，所以 \( (3+4+9+x)\cdot5=75\Rightarrow x=-1 \) 。
