101南港高工教甄數學試題、解答

【註：weiye 將原始檔案壓縮處理，減少檔案大小後，已上傳於附件。2012.06.26 15:50】

這下糗大了
要問題問題好多啊~~
可以請教一下
填充題
4 ,11,12,13,16(完全不知從何下手)
計算題~~
全部
...
我全掛耶~~還真是~~準備考代課也是種煎熬~~

第4題
設\(\langle F_n \rangle\)是費波那契數列(Fibonacci sequence)：\(F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)，則前500項中有　　　項是奇數。
[提示]
1,1,2,3,5,8,13,21,......
奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，按此規則即可推出答案

第13題
如右圖，有一個正八面體的稜長為\(6cm\)。若從其中一個面的中心沿著這個正八面體的表面到相對面的中心之最短路徑長度為\(d\) \(cm\)，則\(d^2\)之值為　　　。
[提示]
將展開圖畫開，求二點距離即為答案

#16
若\(\displaystyle y=\frac{2^x+2^{-x}}{2}\)和\(\displaystyle y=\frac{k}{2^x+2^{-x}}\)的二個交點間之距離為2，則實數\(k=\)　　　。
[解答]
假設y=f(x)=[2^x+2^(-x)]/2  ,y=g(x)=k/[2^x+2^(-x)]
因為f(-x)=f(x)且g(-x)=g(x)
所以y=f(x) ,y=g(x)的圖形均對稱y軸
可令兩圖形的交點為A(a,b), B(-a,b)  (a>0)
依題意知a-(-a)=2 ,a=1
且f(1)=g(1)
所以 (2+1/2)/2 = k/(2 + 1/2)
得k=25/8

#12
設函數\(y=f(x)\)對一切實數\(x\)均滿足\(f(5+x)=f(5-x)\)，且方程式\(f(x)=0\)恰好有6個不同的實根，則這6個實根的和為　　　。
[解答]
假設所求的六根為k1,k2,k3,k4,k5,k6
可令
k1=5+x1 ,k2=5+x2 ,k3=5+x3
k4=5-x1 , k5=5-x2 , k6=5-x3
所求=k1+k2+k3+k4+k5+k6
=(5+x1)+(5+x2)+(5+x3)+(5-x1)+(5-x2)+(5-x3)
=5*6
=30

第11題
雙曲線\(x^2-4y^2=4\)之一弦中點坐標為\((1,1)\)，則此弦長為　　　。
[解答]
還不熟悉語法...希望你看的懂
設交點為A(1+a,1+b),B(1-a,1-b)
代入雙曲線得a=4b再代入得b^2=7/12
AB=根號((2a)^2+(2b)^2)
    =根號17b^2
    =根號119/3

另外,想請問各位老師...第6,7,8題

114.6.10補充
中點弦相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=232&page=1#pid262

第6題
設\(x,y\in \mathbb{R}\)，則\(\sqrt{x^2+y^2-2x+4y+21}+\sqrt{x^2+y^2+6x-4y+38}\)的最小值為　　　。
[解答]
\(\sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2 + (0-4)^2} + \sqrt{(x+3)^2 + (y-2)^2 + (0-5)^2}\)
即求\(xy\)平面上點到點\((1, -2, 4)\)與\((-3, 2, 5)\)的最短距離。
即求\((1, -2, 4)\)與\((-3, 2, 5)\)的距離\(= \sqrt{113}\)

第16題
若\(\displaystyle y=\frac{2^x+2^{-x}}{2}\)和\(\displaystyle y=\frac{k}{2^x+2^{-x}}\)的二個交點間之距離為2，則實數\(k=\)　　　。

參考101的P109頁...演練題第四題

第24題
如右圖，\(H\)為\(\triangle ABC\)之垂心，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若面積比\(\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle ACH=1:2:3\)，則邊長比\(a:b:c=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \Delta BCH:\Delta ACH:\Delta ABH=\tan A:\tan B:\tan C=2:3:1 \)
設 \(\displaystyle \tan A=2k, \tan B=3k, \tan C=k \)
又 \(\displaystyle A+B+C=\pi \)
所以 \(\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=(\tan A)(\tan B)(\tan C) \)
\(\displaystyle 6k=6k^3 \)
\(\displaystyle k=1 \)
\(\displaystyle \tan A=2, \tan B=3, \tan C=1 \)
\(\displaystyle \sin A=\frac{2}{\sqrt5}, \sin B=\frac{3}{\sqrt{10}}, \sin C=\frac{1}{\sqrt2} \)
\(\displaystyle a:b:c=2\sqrt2:3:\sqrt5 \)